Krzywa regularna

Krzywa regularna – krzywa kawałkami gładka.

Definicje formalne

1. Parę uporządkowaną $\mathrm{\Gamma }=(\gamma ,|\mathrm{\Gamma }|),$ gdzie $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to ℂ,$ $|\mathrm{\Gamma }|=\gamma ([\alpha ,\beta ]),$ nazywamy krzywą regularną, gdy $\gamma$ jest funkcją ciągłą oraz istnieje skończony układ punktów $\{t_0,t_1,\dots ,t_n\}$ takich, że $\alpha =t_0<t_1<t_2<\dots <t_{n-1}<t_n=\beta$ i $\gamma {|}_{[t_{i-1},t_i]}$ ma w każdym punkcie przedziału $[t_{i-1},t_i],$ $i\in \{1,2,\dots ,n\},$ ciągłą pochodną. Punkty $\gamma (\alpha ),\gamma (\beta )$ nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej $\mathrm{\Gamma },$ zbiór $|\mathrm{\Gamma }|$ jej podkładem lub nośnikiem, a funkcję $\gamma$ parametryzacją.
2. Krzywa $L\subset {ℝ}^n$ jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\exists }(K_1,K_2,\dots ,K_n)\mathrm{\forall }i\in \{1,2,\dots ,n\}{K}_i$ jest łukiem regularnym i koniec $K_i$ jest identyczny z początkiem $K_{i+1}.:$ Jeżeli dodatkowo koniec $K_n$ równa się początkowi $K_1$ to krzywą $L$ nazywamy krzywą regularną zamkniętą.

Równoważność krzywych regularnych

Niech $\mathrm{\Gamma },\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ będą krzywymi regularnymi o parametryzacjach odpowiednio $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to ℂ,$ $\tilde{\gamma }:[\tilde{\alpha },\tilde{\beta }]\to ℂ.$ Krzywe $\mathrm{\Gamma },\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ są krzywymi równoważnymi, gdy istnieje surjekcja rosnąca (i tym samym ciągła) $\sigma :[\alpha ,\beta ]\to [\tilde{\alpha },\tilde{\beta }]$ oraz układ punktów $\alpha =t_0<t_1<t_2<\dots <t_{n-1}<t_n=\beta ,$ taki że dla każdego $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ funkcja $\sigma {|}_{[t_{i-1},t_i]}$ ma dodatnią ciągłą pochodną i $\gamma =\tilde{\gamma }\circ \sigma .$

Operacje na krzywych regularnych

Krzywa przeciwna

Niech $\mathrm{\Gamma }$ będzie krzywą regularną o parametryzacji $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to ℂ.$ Krzywą o opisie parametrycznym ${\gamma }_1$ danym wzorem ${\gamma }_1(t)=\gamma (-t)$ dla $t\in [-\beta ,-\alpha ]$ nazywamy krzywą przeciwną do $\mathrm{\Gamma }$ i oznaczamy $-\mathrm{\Gamma }.$

Suma krzywych

Niech ${\gamma }_1:[{\alpha }_1,{\beta }_1]\to ℂ,$ ${\gamma }_2:[{\alpha }_2,{\beta }_2]\to ℂ,$ będą odpowiednio opisami parametrycznymi krzywych ${\mathrm{\Gamma }}_1,$ ${\mathrm{\Gamma }}_2.$ Jeśli ${\gamma }_1({\beta }_1)={\gamma }_2({\alpha }_2),$ to krzywą o opisie parametrycznym $\gamma$ danym wzorem

$\gamma (t)=\{\begin{array}{cc}{\gamma }_1(t)& \text{dla }t\in [{\alpha }_1,{\beta }_1]\\ {\gamma }_2(t-{\beta }_1+{\alpha }_2)& \text{dla }t\in [{\beta }_1,{\beta }_1+{\beta }_2-{\alpha }_2]\end{array}$

nazywamy sumą tych krzywych i oznaczamy ${\mathrm{\Gamma }}_1+{\mathrm{\Gamma }}_2$

Przykłady

• Niech $a,b\in ℂ.$ Odcinkiem zorientowanym o początku w punkcie $a$ i końcu w punkcie $b$ nazywamy krzywą o opisie parametrycznym $\gamma$ danym wzorem $\gamma (t)=a+t(b-a),$ $t\in [0,1].$
• Dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie $a\in ℂ$ i promieniu $r>0$ nazywamy krzywą o opisie parametrycznym $\gamma$ danym wzorem $\gamma (t)=a+r\exp (it),$ $t\in [0,2\pi ].$
• Niech dany będzie skończony ciąg punktów $z_1,\dots ,z_n\in ℂ.$ Łamaną zorientowaną o początku w punkcie $z_1$ i końcu w punkcie $z_n$ nazywamy krzywą $I_1+\dots +I_{n-1},$ gdzie $I_k$ jest odcinkiem zorientowanym o początku w $z_k$ i końcu w $z_{k+1}.$

Bibliografia

• Jacek Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, Szablon:ISBN.