Łuk regularny

Łuk regularny – rodzaj krzywej opisanej parametrycznie:

$(x(t),y(t)),$ gdzie $t\in [\alpha ,\beta ]$

lub ogólniej, w przestrzeni n-wymiarowej:

$(z_1(t),\dots ,z_n(t)),$ gdzie $t\in [\alpha ,\beta ].$

Łuk regularny jest zdefiniowany przez spełnianie zestawu warunków:

• nie ma punktów wielokrotnych, tzn. różnym wartościom $t$ odpowiadają różne punkty krzywej (różnowartościowość, in. iniekcyjność);
• funkcje te mają w przedziale $[\alpha ,\beta ]$ pochodne o pewnych własnościach:

• pochodne te są ciągłe;
• te pochodne nie zerują się jednocześnie, tzn.

$(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2>0$

lub odpowiednio, w przestrzeni n-wymiarowej:

$({z_1}^{\prime }(t){)}^2+\dots +({z_n}^{\prime }(t){)}^2>0$

dla każdego $t\in [\alpha ,\beta ]$.

Własności

Łuk regularny ma w każdym swoim punkcie styczną. Każdy łuk regularny jest łukiem zwykłym oraz krzywą prostowalną, której długość wyraża się wzorem:

$|L|=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt[]{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt.$

Każdy punkt leżący na tej krzywej nazywany jest punktem regularnym.

Zobacz też

• lista krzywych
• łuk krzywej
• łuk zwykły