Punkt regularny

Punkt regularny – punkt leżący na krzywej o tej własności, że przez punkt ten przechodzi dokładnie jedna styczna. Wszystkie punkty regularne krzywej tworzą łuk regularny.

Teoria różniczkowania

W ogólnej teorii różniczkowania, przez punkt regularny rozumie się następujące pojęcie:

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha oraz odwzorowanie $G:X\to Y$ będzie różniczkowalne w punkcie $x_0\in X$ takim, że $G(x_0)=0.$ Punkt $x_0$ nazywamy punktem regularnym zbioru $M=\{x\in X:G(x)=0\},$ jeżeli pochodna odwzorowania $G$ w punkcie $x_0$ jest suriekcją $X\to Y.$

Szczególne przypadki

• Jeśli $Y=ℝ,$ to punkt $x_0\in M\subseteq X$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy $G^{\prime }(x_0)\ne 0.$

• Jeśli natomiast $X={ℝ}^m,Y={ℝ}^n,m⩽n,G=(g_1,\dots ,g_n),$ to punkt $x_0\in M\subseteq X$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

$\mathrm{r}{[\frac{\partial g_i}{\partial x_j}(x_0)]}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i⩽n}{1⩽j⩽m}}=m.$

Zobacz też

• przestrzeń styczna
• punkt osobliwy