Cyrkulacja

Cyrkulacja (krążenie) – operator wprowadzony początkowo w dynamice płynów następnie uogólniony na wszystkie pola wektorowe, dla danego pola definiuje wielkość skalarną. Cyrkulacja oznaczana jest zwyczajowo przez $\mathrm{\Gamma }.$

Dla przepływającego płynu z prędkością $𝐕$ wzdłuż zamkniętej krzywej $C$ cyrkulacja określona jest wzorem:

$\mathrm{\Gamma }=\underset{C}{\oint }𝐕\cdot 𝐝𝐬,$

gdzie $𝐝𝐬$ oznacza wektor styczny do krzywej całkowania.

Niezerowa wartość cyrkulacji oznacza, że w analizowanym obszarze występuje zawirowanie płynu, przy wartości dodatniej w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem całkowania.

Według twierdzenia Kutty-Żukowskiego w przepływie laminarnym cyrkulacja płynu (powietrza) wokół ciała poruszającego się w nim jest jednakowa dla każdej krzywej całkowania, a wytwarzana siła nośna jest proporcjonalna do cyrkulacji.

Definicja uogólniona

Cyrkulacja dla danego pola wektorowego $\bar{F}(x,y,z)$ wzdłuż krzywej L określa wzór:

$\mathrm{\Gamma }=\underset{L}{\oint }\bar{F}\cdot \overline{dl},$

gdzie $\overline{dl}$ jest infinitezymalnym wektorem stycznym do krzywej w danym punkcie.

Jeżeli krzywa L ma parametryzację $\bar{\phi }(t)$ w przedziale $t\in [a,b],$ to powyższy wzór można zapisać jako:

$\mathrm{\Gamma }=\underset{L}{\oint }\bar{F}\cdot \overline{dl}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\bar{F}(t)\cdot \frac{d\bar{\phi }}{dt})dt.$

Związek cyrkulacji z rotacją

Twierdzenie Stokesa wiąże całkę po krzywej zamkniętej ze strumieniem rotacji przenikającym przez powierzchnię zamkniętą tą krzywą.

$\mathrm{\Gamma }=\underset{C}{\oint }𝐕\cdot 𝐝𝐬=\int \underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐕)\cdot 𝐝𝐒.$

Ze związku powyższego wynika:

$\hat{n}\cdot \overline{rotF}=\underset{S\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Gamma }}{S}=\underset{S\to 0}{\lim }\frac{\underset{L}{\oint }\bar{F}\cdot \overline{dl}}{S}.$

Równanie to oznacza, że dla danej krzywej L ograniczającej pewną powierzchnię S, która jest uznana za płaską, $\hat{n}$ – jest wersorem (wektor o długości 1) prostopadłym (normalnym) do tej powierzchni, iloczyn skalarny rotacji i wersora normalnego w wybranym punkcie pola jest równy granicy do której dąży iloraz cyrkulacji po krzywej zamkniętej otaczającej jeden raz wybrany punkt przez powierzchnię ograniczoną tą krzywą.