Funkcja wielu zmiennych

Szablon:Grafika rozwinięta Funkcja wielu zmiennych – dwuznaczne pojęcie matematyczne:

• w sensie szerokim jest to każda funkcja $f:X\to Y,$ której dziedziną $X$ jest podzbiór iloczynu kartezjańskiego co najmniej dwóch zbiorów, tzn. $X\subseteq X_1\times \dots \times X_n;$
• w sensie wąskim jest to każda funkcja rzeczywista, której argumenty to co najmniej dwie liczby.

Częstym przykładem są zmienne rzeczywiste, tzn. $X\subseteq {ℝ}_1\times \dots \times {ℝ}_n={ℝ}^n;$ elementy dziedziny są wektorami $𝐱=[x_1,x_2,\dots ,x_n].$ Przeciwdziedzina $Y$ funkcji może być przestrzenią liczb rzeczywistych $ℝ$ lub ogólnie – przestrzenią wielowymiarową ${ℝ}^m;$ w tym ogólnym przypadku wartościami funkcji są wektory $𝐲=[y_1,y_2,\dots ,y_m].$

Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych np. w matematyce, fizyce, chemii, biologii, ekonomii, inżynierii itp. jest funkcjami wielu zmiennych.

Zapis funkcji wielu zmiennych

Funkcję $f(𝐱)$ zależną od zmiennych postaci $𝐱=[x_1,x_2,\dots ,x_n]$ zwykle zapisuje się pomijając nawiasy wewnętrzne, czyli pisze się $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ zamiast $f([x_1,x_2,\dots ,x_n]).$

W przypadku mniejszej liczby zmiennych zamiast oznaczeń $x_1,x_2,x_3$ stosuje się oznaczenia $x_1\equiv x,$ $x_2\equiv y,$ $x_3\equiv z.$

Często w zapisie funkcji wielu zmiennych nie podaje się jawnie zmiennych, domyślnie przyjmując, iż wszystkie literały oznaczają zmienne z wyjątkiem uznanych powszechnie za stałe, np. fizyczne lub matematyczne. Np. wzór na objętość walca obrotowego $V(r,h)=\pi r^{2}h$ jest funkcją dwóch zmiennych $r,h$ (gdzie $r$ – promień podstawy, $h$ – wysokość walca); w skrócie funkcję tę zapisuje się w postaci $V=\pi r^{2}h.$

Przykłady 1

Przykładowe funkcje wielu zmiennych:

• $f(x,y)=\sin (x{y}^2)$
• $f(x,y,z)=x^{3}y-xyz+y{\sin }^2{z}^3-x$
• $f(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{x_1^2+\dots +x_1^n}$ – długość wektora w przestrzeni ${ℝ}^n$
• $f(x,y,z,t)=x+y+z+t$
• $f(x,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t}\sin (t\cdot x{y}^2)dt$
• $U(R,I)=IR$ – napięcie na oporniku jako funkcja oporu $R$ i natężenia $I$ prądu (według prawa Ohma)

Przykłady 2

Symetryczna funkcja falowa 2 bozonów. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia $x_1,x_2$ bozonów, na osi pionowej – wartości funkcji.

Antysymetryczna funkcja falowa 2 fermionów. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia $x_1,x_2$ fermionów, na osi pionowej – wartości funkcji.

• W matematyce elementarnej podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie) – to funkcje dwóch zmiennych.
• W mechanice klasycznej wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej jest funkcją czasu, przy czym liczba elementów wektora położenia jest równa liczbie stopni swobody układu. Np. w przypadku jednej cząstki poruszającej się swobodnie w przestrzeni wektor ten ma 3 składowe, a dla N takich cząstek wektor ten ma 3N składowych.
• W mechanice kwantowej stan układu opisuje funkcja falowa mająca wartości w zbiorze liczb zespolonych, która zależny od takiej liczby współrzędnych, jaka byłaby potrzebna do opisania układu w mechanice klasycznej, jeżeli przy tym nie uwzględnia się spinu cząstek; jeżeli zaś trzeba uwzględnić spin, to wartości funkcji falowej tworzą wektor mający tyle elementów, ile stanów spinowych może mieć układ.

Zobacz też

• pochodna cząstkowa
• równanie różniczkowe

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Helena Kazieko, Funkcja dwóch zmiennych, kanał Nauka / Science SGGW na YouTube, 13 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-12-21].