Potencjał magnetyczny

Potencjał magnetyczny – matematyczny sposób na zdefiniowanie pola magnetycznego w elektrodynamice klasycznej. Jest on analogiczny do potencjału elektrycznego, który definiuje pole elektryczne w elektrostatyce. Podobnie jak w przypadku potencjału elektrycznego potencjał magnetyczny nie jest bezpośrednio obserwowalny – mierzalne jest jedynie pole które opisuje. Są dwa sposoby na zdefiniowanie tego potencjału – jako potencjał skalarny lub jako potencjał wektorowy, który jest wykorzystywany częściej.

Magnetyczny potencjał wektorowy

Magnetyczny potencjał wektorowy $𝐀$ jest trójwymiarowym polem wektorowym, którego rotacja jest polem magnetycznym

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

Pole magnetyczne jest bezźródłowe (to znaczy $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0,$ co wynika z prawa Gaussa), co pociąga za sobą istnienie tak zdefiniowanego potencjału $𝐀$ na podstawie twierdzenia Helmholtza.

Pole elektryczne dla potencjałów zależnych od czasu można zapisać w postaci

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-\frac{\partial 𝐀}{\partial t},$

gdzie $\mathrm{\Phi }$ jest potencjałem elektrycznym.

Wykorzystując powyższe definicje

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0,$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=\mathrm{\nabla }\times (-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-\frac{\partial 𝐀}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t},$

można zauważyć, że dwa równania Maxwella dla pola magnetycznego są spełnione tożsamościowo.

Powyższe definicje nie definiują magnetycznego potencjału wektorowego jednoznacznie, gdyż, z definicji, możemy dodać dowolne bezwirowe pole wektorowe do potencjału magnetycznego bez zmiany obserwowanego pola magnetycznego. Istnieje zatem pewna swoboda w wyborze $𝐀,$ który jest określony z dokładnością do przekształcenia cechowania.

W systemie SI, jednostką A jest V·s·m⁻¹.

W mechanice klasycznej i kwantowej, potencjał wektorowy wchodzi do hamiltonianu opisującego cząstkę:

$H=\frac{1}{2m}{(𝐩-e𝐀)}^2.$

Przykład – potencjał wektorowy dla jednorodnego pola magnetycznego

Np. potencjałem wektorowym dla jednorodnego pola magnetycznego w dowolnym kierunku przestrzennym $𝐁$ jest

$𝐀=\frac{𝐁\times 𝐫}{2}.$

Używając tożsamości upraszczającej dla rotacji iloczynu wektorowego pól wektorowych, możemy to sprawdzić otrzymując

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{𝐁\times 𝐫}{2}\right)=\frac{1}{2}[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐫)+𝐫\cdot \mathrm{\nabla }]𝐁-\frac{1}{2}[(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)+𝐁\cdot \mathrm{\nabla }]𝐫=\frac{3}{2}𝐁+0-0-\frac{𝐁}{2}=𝐁,$

gdzie dużo składników znika ponieważ wektor $𝐁$ jest stały.

Skalarny potencjał magnetyczny

Skalarny potencjał magnetyczny $\mathit{\psi }$ jest prostszy od potencjału wektorowego, jednak można go używać jedynie w obszarach jednospójnych, w których nie występują prądy. Definiuje go równanie

$𝐁=-{\mu }_0\mathrm{\nabla }\mathit{\psi }.$

Korzystając z prawa Ampera, dostajemy

$𝐣=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times 𝐁=-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\mathit{\psi }=0.$

Aby spełnione było prawo Gaussa, musi być spełnione równanie różniczkowe Laplace’a

$\mathrm{△}\mathit{\psi }=0.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę