Równanie Hamiltona-Jacobiego

Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.

Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania $S$Szablon:R:

$H(q_1,q_2,\dots ,q_f,\frac{\partial S}{\partial q_1},\frac{\partial S}{\partial q_2},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_f},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0,$

gdzie $S$ opisuje transformację

$p_l=\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q_l},$

$Q_l=\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial P_l},$

która daje rozwiązania równań ruchu, w których $P$ i $Q$ pełnią rolę stałych całkowania.

Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava JacobiegoSzablon:R.

Wyprowadzenie

Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona Szablon:Wzór Szablon:Wzór

dla $l=1,2,\dots ,f.$

Jeżeli przekształcenie kanoniczne Szablon:Wzór Szablon:Wzór

prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np. Szablon:Wzór

równania Hamiltona przybierają postać Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Ich rozwiązaniem jest więc po prostu Szablon:Wzór Szablon:Wzór

gdzie ${\alpha }_l$ i ${\beta }_l$ są stałymi całkowania.

Podstawiając te rozwiązania do transformacji Szablon:LinkWzór otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych $p$ i $q:$ Szablon:Wzór Szablon:Wzór

$2f$ stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych Szablon:Wzór Szablon:Wzór

problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.

Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem Szablon:Wzór Szablon:Wzór

gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest Szablon:Wzór

i wykorzystując Szablon:LinkWzór otrzymujemy Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji Szablon:LinkWzór zmianę hamiltonianu opisuje wzór Szablon:Wzór

można rozwinąć Szablon:LinkWzór do postaci Szablon:Wzór

Wreszcie wstawiając Szablon:LinkWzór otrzymuje się równanie Hamiltona-JacobiegoSzablon:R: Szablon:Wzór