Działanie (fizyka)

Działanie – podstawowe pojęcie mechaniki teoretycznej. Wyraża się w jednostkach iloczynu energii i czasu bądź pędu i drogi. Działanie to całka lagranżjanu układu między dwoma stanami:

$S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}Ldt.$

Obowiązuje wariacyjna zasada najmniejszego działania analogiczna do zasady najmniejszego czasu.

Funkcja działania $S(𝐪,t)$ to całka dana wzorem:

$S_{{𝐪}_0,t_0}(𝐪,t)=\underset{\gamma }{\int }Ldt,$

gdzie $𝐪$ to współrzędne uogólnione, a $\gamma$ to ekstremala łącząca punkty $(𝐪,t)$ i $({𝐪}_0,t_0).$ Definicja ta ma sens pod warunkiem, że ekstremale wychodzące z punktu $(𝐪,t)$ więcej się nie przecinają.

Funkcja działania spełnia równanie Hamiltona-JacobiegoSzablon:R.

Równania Eulera-Lagrange’a

Równania Eulera-Lagrange’a otrzymuje się z warunku, że pochodne funkcjonalne działania $S$ względem funkcji $q_i(t)$ zerują się, tj.

$\frac{\delta 𝒮}{\delta q_i(t)}=0,i=1,\dots ,n,$

co implikuje równanie Eulera-Lagrange’a:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,$

którego rozwiązaniem są funkcje $x(t),$ dla których $S$ jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń od $x(t)$ $S$ zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby $S$ przyjmowało dla $x(t)$ ekstremum.

Przykład: Cząstka swobodna

Cząstka swobodna o masie m, mająca prędkość v porusza się w przestrzeni Euklidesa po prostej. Wykażemy to korzystając z równań Eulera-Lagrange’a zapisanych we współrzędnych biegunowych.

(1) Dla cząstki swobodnej potencjał jest zerowy, dlatego Lagrangian jest równy energii kinetycznej. We współrzędnych (x, y) ma on postać

$L=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2),$

gdzie kropka oznacza różniczkowanie po parametrze, zadającym krzywą. Zwykle jest to czas.

(2) We współrzędnych biegunowych Lagrangian ma postać:

$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2).$

Równania Eulera-Lagrange’a separują się na dwa równania, zależne od współrzędnej radialnej $r$ oraz kąta $\phi$

$\begin{array}{cccccc}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}& =0& & \Rightarrow & \ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2& =0\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi }& =0& & \Rightarrow & \ddot{\phi }+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi }& =0\end{array}$

(3) Rozwiązania tych równań mają postać:

$\begin{array}{cc}r\cos \phi & =at+b,\\ r\sin \phi & =ct+d,\end{array}$θ

gdzie $a,b,c,d$ – stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązane to przedstawia linie prostą we współrzędnych biegunowych.

Zobacz też

• grawitacyjna całka działania
• moment pędu