Zasada Fermata

Zasada Fermata w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. Sformułował ją Pierre de Fermat, a treść zasady w jego ujęciu miała następujące brzmienie:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa najkrótszą możliwie drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzebuje minimalnego czasu.

Obecnie wiadomo, że sformułowanie to nie jest najogólniejsze. Spośród wielu możliwych dróg łączących ustalone punkty $A$ oraz $B$ może to być droga stacjonarna (minimalna, maksymalna albo należąca do punktu przegięcia funkcjonału). Stacjonarność drogi oznacza, że czas jej pokonania nie zmieni się – z dokładnością do wyrazów rzędu 2-go – gdyby światło poruszało się po niewiele różniącej się drodze. W ogólniejszym sformułowaniu zasada Fermata powinna więc brzmieć:

Promień świetlny poruszający się (w dowolnym ośrodku) od punktu A do punktu B przebywa stacjonarną drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzebuje stacjonarnego czasu.

W klasycznych zagadnieniach takich jak załamanie, odbicie od płaskiej powierzchni droga pokonywana przez światło jest minimalna. W przypadku soczewkowania grawitacyjnego światło porusza się po drodze maksymalnej. Podczas odbicia od zwierciadła eliptycznego droga promienia osiąga punkt siodłowy (zmiana w jednym kierunku powoduje wzrost czasu pokonania drogi, a w kierunku prostopadłym do pierwszego – zmniejszenie).

Na podstawie zasady Fermata można wyprowadzić prawo odbicia i załamania.

Wyprowadzenie prawa załamania na przykładzie

Wyprowadzenie zasady załamania z zasady Fermata

Światło biegnie z punktu $A$ do punktu $B.$ Należy odnaleźć krzywą, po której się ono porusza. Niech $n_1,$ $n_2$ oznaczają bezwzględne współczynniki załamania dwóch ośrodków optycznych. Wtedy prędkość światła w każdym z tych ośrodków wynosi odpowiednio:

$v_1=\frac{c}{n_1},v_2=\frac{c}{n_2}.$

Niech $x$ oznacza współrzędną punktu, w którym światło przechodzi przez granicę dwóch ośrodków. Najszybszą drogą dotarcia do tego punktu z punktu $A$ oraz od tego punktu do punktu $B$ w ośrodkach jednorodnych są odcinki linii prostych. Czas potrzebny na przebycie drogi od $A$ do $B$ wynosi więc:

$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+h_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{h_2^2+(a-x{)}^2}}{v_2},$

gdzie $a$ jest odległością między punktami A i B mierzoną w poziomie wzdłuż granicy ośrodków. Stacjonarność rozwiązania wymaga zerowania się pierwszej pochodnej czasu po $x:$

$\begin{array}{cc}\frac{dt(x)}{dx}=0& ⟺\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+h_1^2}}+\frac{-(a-x)}{v_2\sqrt{h_2^2+(a-x{)}^2}}=0\\ & ⟺\frac{v_1}{v_2}=\frac{\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}}{\frac{a-x}{\sqrt{h_2^2+(a-x{)}^2}}}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }.\end{array}$

Zatem:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }.$