Lagranżjan

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania $S$ charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

$L(q(t),\dot{q}(t),t)=T(q(t),\dot{q}(t),t)-U(q(t),\dot{q}(t),t),$

gdzie:

$T$ – energia kinetyczna,

$U$ – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii $q(t)$ opisującej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej od czasu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał $S$ nazywany działaniem, obliczony w przestrzeni wszystkich możliwych funkcji $q(t),$ jest stacjonarny, czyli nie zmienia swojej wartości przy nieskończenie małej zmianie (wariacji) toru (np. jest tak w otoczeniu ekstremali funkcjonału). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

$S[q]=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}L(q(t),\dot{q}(t),t)dt,$

We wzorze tym $L(q(t),\dot{q}(t),t)$ oznacza lagranżjan, a $\dot{q}$ oznacza pochodną $q$ po czasie.

Teoria pola

W teorii pola lagranżjan jest całką po współrzędnych przestrzennych $x^1,x^2,x^3$ z gęstości lagranżjanu $ℒ$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

$L=\int d^{3}xℒ(\phi (x^{\mu }),{\partial }_{\mu }\phi (x^{\mu }),x^{\mu }),$

gdzie:

• $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(x^0,\overrightarrow{x})$ – czterowektor położenia punktu w czasoprzestrzeni,
• $x^0=ct$ – współrzędna czasowa,
• $\phi (x^{\mu })$ – wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni $x^{\mu },$
• $\int d^{3}x\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^1\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}^3,$
• ${\partial }_{\mu }\phi =(\frac{\partial \phi }{\partial x^0},\frac{\partial \phi }{\partial x^1},\frac{\partial \phi }{\partial x^2},\frac{\partial \phi }{\partial x^3})$ – kowariantny czterowektor pochodnych cząstkowych pola.

Zobacz też

• grawitacyjna całka działania
• hamiltonian
• mnożniki Lagrange’a
• równania Eulera-Lagrange’a

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Lagrangian Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].