Macierz Hadamarda

Macierz Hadamarda – macierz kwadratowa, której elementami są liczby +1 lub –1, a jej kolumny (i równoważnie – wiersze) są parami ortogonalne.

W kategoriach geometrycznych oznacza to, że każda para wierszy w macierzy Hadamarda reprezentuje wektory wzajemnie prostopadłe. Równoległościan rozpięty przez wektory macierzy Hadamarda n × n ma wymiar n i ma on maksymalną objętość wśród równoległościanów utworzonych przez n wektorów, mających długości nie większe niż 1. Równoważnie, macierz Hadamarda ma maksymalny wyznacznik wśród macierzy z elementami o wartości bezwzględnej mniejszej lub równej 1.

Macierz Hadamarda o n wierszach i n kolumnach oznacza się zwykle symbolem $H_n.$ Nazwa macierzy pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Jacques’a Hadamarda.

Przykłady

$H_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],H_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],H_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$

$H_8=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1& 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1\\ 1& -1& 1& -1& -1& 1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1& -1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 1& -1& 1& 1& -1\end{array}\right]$

$H_{12}=\left[\begin{array}{cc}++++++& -+++++\\ +++--+& +-+--+\\ ++++--& ++-+--\\ +-+++-& +-+-+-\\ +-++++& +--+-+\\ ++--++& ++--+-\\ \\ -+++++& ------\\ +-+--+& ---++-\\ ++-+--& ----++\\ +-+-+-& -+---+\\ +--+-+& -++---\\ ++--+-& --++--\end{array}\right]$

W powyższej macierzy $+$ oznacza liczbę $1$ natomiast $-$ liczbę $-1.$

Macierz Hadamarda wymiaru $2n$ można uzyskać z macierzy Hadamarda wymiaru $n$ za pomocą wzoru:

$H_{2n}=\left[\begin{array}{cc}{H}_n& H_n\\ H_n& -H_n\end{array}\right]$

Macierze $H_2,H_4,H_8$ zostały skonstruowane powyższą metodą, natomiast macierz $H_{12}$ nie (rzeczywista macierz Hadamarda rzędu 6 nie istnieje).

Właściwości macierzy Hadamarda

• $H_n{H}_n^T=n{I}_n$ gdzie $I_n$ jest macierzą jednostkową rzędu $n.$
• Macierz pozostaje macierzą Hadamarda po pomnożeniu dowolnego wiersza lub kolumny przez $-1.$
• Macierz transponowana do macierzy Hadamarda jest macierzą Hadamarda.
• Macierz Hadamarda jest macierzą ortogonalną.

Bibliografia

• J. Hadamard, Résolution d’une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, s. 240–246 (1893).
• J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, s. 461–475 (1867).

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Hadamard matrix Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].