Tensor napięć-energii

Tensor energii-pędu (zwany też tensorem napięć-energii) – tensor drugiego rzędu. Jest używany na przykład w ogólnej teorii względności, w której wchodzi w skład równań Einsteina i pełni rolę źródła zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja.

Definicja

W szczególnej i ogólnej teorii względności przyjmuje się następujące indeksowanie składowych tensora napięć-energii:

$0$ – indeks czasowy,

$1,2,3$ – indeksy przestrzenne.

Definicja

Składowa $T^{ab},a,b=0,1,2,3$ tensora napięć-energii jest równa składowej $a$ strumienia wektora czteropędu przepływającego przez hiperpowierzchnię o stałej współrzędnej $x^b$ w czasoprzestrzeni.

Własność symetrii

Tensor napięć-energii w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma wymiary 4×4. Tensor napięć-energii jest w teorii względności symetryczny, tj.Szablon:Odn

$T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.$

W teoriach alternatywnych, jak np. teoria Einsteina-Cartana tensor napięć-energii może nie być dokładnie symetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje np. zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane.

Przykład

Jeżeli mamy strumień cząstek w przestrzeni, to aby obliczyć składową $T^{ab}$ w danym punkcie oblicza się sumę składowych $a$ czterowektora pędu cząstek, które przechodzą przez mały element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi $b$ i dzieli przez wielkość tej hiperpowierzchni.

Sens fizyczny składowych tensora napięć-energii

(1) Składowa $T^{00}$ tensora napięć-energii jest równa gęstości energii w pobliżu danego punktu.

(2) Składowe $T^{a,0}$ oraz $T^{0,a},$ gdzie $a=1,2,3$ to gęstość pędu (pomnożona przez $c$) w pobliżu danego punktu (łączna wartość pędu w danym obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru).

(3) Składowe $T^{a,b}$ gdzie $a,b=1,2,3$ tworzą tensor napięć (pojęcie analogiczne do tensora napięć znanego w technice):

a) składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie,

b) składowe pozadiagonalne to naprężenie ścinające.

Postać macierzowa tensora napięć-energii

Tensor napięć-energii jest tensorem drugiego rzędu, dlatego jego składowe można przedstawić w postaci macierzy 4×4Szablon:Odn:

$(T^{\mu \nu }{)}_{\mu ,\nu =0,1,2,3}=\left(\begin{array}{cccc}{T}^{00}& T^{01}& T^{02}& T^{03}\\ T^{10}& T^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{20}& T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{30}& T^{31}& T^{32}& T^{33}\end{array}\right)$

lub też, identyfikując odpowiednie składowe z wielkościami fizycznymi

$(T^{\mu \nu }{)}_{\mu ,\nu =0,1,2,3}=\left(\begin{array}{cccc}u& p^x& p^y& p^z\\ p^x& P^{xx}& {\sigma }^{xy}& {\sigma }^{xz}\\ p^y& {\sigma }^{yx}& P^{yy}& {\sigma }^{yz}\\ p^z& {\sigma }^{zx}& {\sigma }^{zy}& P^{zz}\end{array}\right),$

gdzie:

$u$ – gęstość energii,

$p^x,p^y,p^z$ – składowe gęstości pędu (pomnożone przez $c$),

$P^{xx},P^{yy},P^{zz}$ – ciśnienia,

${\sigma }^{xy},{\sigma }^{xz},{\sigma }^{yz}$ – naprężenia ścinające.

Przykłady tensora napięć-energii

Cząstka izolowana

Dla cząstki izolowanej (nie oddziałującej z otoczeniem) o masie m, znajdującej się w położeniu ${𝐱}_{\text{p}}(t)$ tensor napięć-energii ma postać:

$T^{\alpha \beta }(𝐱,t)=\frac{m{v}^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\delta (𝐱-{𝐱}_{\text{p}}(t))=\frac{E}{c^2}{v}^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\delta (𝐱-{𝐱}_{\text{p}}(t)),$

gdzie:

$(v^{\alpha }{)}_{\alpha =0,1,2,3}$ – składowe wektora prędkości (nie należy mylić z 4-wektorem prędkości, który dodatkowo zawiera czynnik $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$), tzn. $(v^{\alpha }{)}_{\alpha =0,1,2,3}=(1,\frac{d{𝐱}_{\text{p}}}{dt}(t)),$

$\delta$ – delta Diraca,

$E=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$ – całkowita energia cząstki.

Wiele cząstek punktowych

Dowolny rozkład materii/energii można otrzymać ze zbioru cząstek punktowych.

Dlatego tensor napięć-energii można wyrazić za pomocą sumy tensorów napięć-energii pojedynczych cząstek. Tensor ten dla pojedynczej cząstki ma postać

$T_{\alpha \beta }(𝐱,t)=\gamma m{v}_{\alpha }{v}_{\beta },\alpha ,\beta =0,1,2,3$

w położeniu, gdzie cząstka znajduje się aktualnie, zaś zero wszędzie indziej. Tensor ten zmienia się w ogólności w czasie, gdy zmienia się w czasie położenie i prędkość cząstki. Zmienna $v$ jest wektorem prędkości, tj. równym pochodnej położenia cząstki względem czasu (nie czasu własnego)

$v=(c,dx/dt,dy/dt,dz/dt).$

Widać stąd, że wszystkie składowe tensora napięć-energii mają jednakowy wymiar $\mathrm{[}\mathrm{k}\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\mathrm{]}\mathrm{=}\mathrm{[}\mathrm{J}\mathrm{]}.$

Aby otrzymać tensor napięć-energii w przypadku zbioru wielu cząstek sumuje się tensory dla cząstek punktowych i dzieli przez objętość, jaką zajmuje zbiór cząstek – w ten sposób składowe tensora będą gęstościami pędu i ciśnienia, średnimi dla dyskretnego zbioru cząstek.

Element $T_{00}=\gamma m{c}^2$ jest energią cząstki. Stąd, jeżeli dodamy energie wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowitą energię.

Elementy $T_{i0}=\gamma m{v}_{i}c$ oznaczają pędy cząstek w kierunki $i=1,2,3,$ mnożone przez prędkość światła $c.$ Stąd, jeżeli dodamy te elementy od wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowity pęd w kierunku $i$ mnożony przez prędkość światła $c,$ czyli prędkość w kierunku osi czasu.

Podobnie, niediagonalne elementy $T_{ij}=\gamma m{v}_i{v}_j$ dla zbioru cząstek dodane do siebie dają sumę pędów cząstek w kierunku $i$ mnożonych przez ich prędkości w kierunku $j.$

Elementy diagonalne $T_{ii}=\gamma m{v}_i^2$ wyglądają jak energie kinetyczne. W zbiorze cząstek chaotycznie poruszających się, jak np. w gazie, energia kinetyczna związana jest z ciśnieniem, dlatego elementy diagonalne odpowiadają za ciśnienie.

Tensor napięć-energii płynu w równowadze

Dla płynu idealnego w równowadze termodynamicznej tensor napięć-energii ma prostą postaćSzablon:Odn

$T^{\alpha \beta }=(\rho +\frac{p}{c^2})u^{\alpha }{u}^{\beta }+p{g}^{\alpha \beta },$

gdzie:

$\rho$ – gęstość masy-energii [kg/m³],

$p$ – ciśnienie hydrostatyczne [Pa],

$u^{\alpha }$ – czteroprędkość płynu,

$g^{\alpha \beta }$ – odwrotny tensor metryczny.

Ślad tego tensora wynosi

$T=3p-\rho c^2,$

a czteroprędkość spełnia równanie

$u^{\alpha }{u}^{\beta }{g}_{\alpha \beta }=-c^2.$

W układzie odniesienia poruszającym się z płynem, zwanym właściwym układem odniesienia, mamy

$(u^{\alpha }{)}_{\alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0).$

Odwrotny tensor metryczny ma postać

$(g^{\alpha \beta }{)}_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left(\begin{array}{cccc}-c^{-2}& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$

Tensor napięć-energii jest diagonalny

$(T^{\alpha \beta }{)}_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left(\begin{array}{cccc}\rho & 0& 0& 0\\ 0& p& 0& 0\\ 0& 0& p& 0\\ 0& 0& 0& p\end{array}\right).$

Elektromagnetyczny tensor napięć-energii

Tensor napięć-energii Hilberta dla pozbawionego źródeł pola elektromagnetycznego ma postać:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}(F^{\mu \alpha }{g}_{\alpha \beta }{F}^{\nu \beta }-\frac{1}{4}{g}^{\mu \nu }{F}_{\delta \gamma }{F}^{\delta \gamma }),$

gdzie $F_{\mu \nu }$ – tensor pola elektromagnetycznego.

Pole skalarne

Tensor napięć-energii dla pola skalarnego $\varphi$ które jest rozwiązaniem równania Kleina-Gordona ma postać

$T^{\mu \nu }=\frac{{\hslash }^2}{m}(g^{\mu \alpha }{g}^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }{g}^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }{g}^{\alpha \beta }){\partial }_{\alpha }\bar{\varphi }{\partial }_{\beta }\varphi -g^{\mu \nu }m{c}^2\bar{\varphi }\varphi .$

Gdy metryka jest płaska (metryka Minkowskiego), to otrzyma się:

$\begin{array}{cc}{T}^{00}& =\frac{{\hslash }^2}{m{c}^4}({\partial }_0\bar{\varphi }{\partial }_0\varphi +c^2{\partial }_k\bar{\varphi }{\partial }_k\varphi )+m\bar{\varphi }\varphi ,\\ T^{0i}=T^{i0}& =-\frac{{\hslash }^2}{m{c}^2}({\partial }_0\bar{\varphi }{\partial }_i\varphi +{\partial }_i\bar{\varphi }{\partial }_0\varphi ),\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{z}\\ T^{ij}& =\frac{{\hslash }^2}{m}({\partial }_i\bar{\varphi }{\partial }_j\varphi +{\partial }_j\bar{\varphi }{\partial }_i\varphi )-{\delta }_{ij}(\frac{{\hslash }^2}{m}{\eta }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\bar{\varphi }{\partial }_{\beta }\varphi +m{c}^2\bar{\varphi }\varphi ).\end{array}$

Przybliżenie quasi-klasyczne

Uważa się, że najdokładniejszy opis oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią da kwantowa teoria grawitacji, traktująca materię i pole grawitacyjne jako układy kwantowe. Nie istnieje jednak jak dotąd kwantowa teoria grawitacji, choć podejmowane są liczne próby jej sformułowania.

Pierwszym podejściem w tym kierunku jest tzw. przybliżenie quasi-klasyczne, które traktuje pole grawitacyjnie w sposób klasyczny, a materię kwantowo, tzn. modyfikuje się równania Einsteina do postaci

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=-K⟨T_{\mu \nu }⟩,$

czyli:

• tensor pola grawitacyjnego (tensor Einsteina) pozostaje bez zmian,
• tensora energii-pędu materii zastępuje się przez średni statystyczne tensor energii-pędu $T_{\mu \nu }\to ⟨T_{\mu \nu }⟩,$

przy czym średni statystyczna zależy od funkcji falowej określającej stan kwantowy materii.

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego

$⟨T_{\mu \nu }⟩=(ϵ+P)u_{\mu }{u}_{\nu }-g_{\mu \nu }P,$

gdzie $u$ jest wektorem jednostkowym $u_{\mu }{u}^{\mu }=1,$ $ϵ$ jest przestrzennym rozkładem energii, a $P$ rozkładem ciśnienia.

Np. w płaskiej przestrzeni Minkowskiego $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$ wektor jednostkowy $u^{\mu }=\{1,0,0,0\}$ i tensor energii-pędu ma postać macierzową

$T_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}ϵ& 0& 0& 0\\ 0& P& 0& 0\\ 0& 0& P& 0\\ 0& 0& 0& P\end{array}\right].$

Aby rozwiązać równania Einsteina musi być podana pełna informacja o układzie fizycznym, dlatego trzeba zadać dodatkowo równanie stanu materii (EOS), określające zależność ciśnienia od gęstości materii

$P=P(ϵ).$

Zobacz też

• równanie Einsteina

Bibliografia

• Szablon:Cytuj