Zasada zachowania momentu pędu

Szablon:Dopracować Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w mechanice.

Treść zasady:

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

co można zapisać wzorem

$\mathrm{const}\overrightarrow{L}$

lub

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}}{\mathrm{d}t}=0,$

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły $M$

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}.$

Konsekwencje

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

$\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega }$

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa $\omega$ rośnie, gdy maleje moment bezwładności $I.$

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Dowód poprawności

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu $N$ cząstek można zapisać

$\overrightarrow{L}=\sum _{i=1}^N\overrightarrow{r_i}\times (m_i\dot{\overrightarrow{r_i}}).$

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}}{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^N\dot{\overrightarrow{r_i}}\times (m_i\dot{\overrightarrow{r_i}})+\sum _{i=1}^N\overrightarrow{r_i}\times (m_i\ddot{\overrightarrow{r_i}}).$

Ponieważ iloczyn wektorowy $\dot{\overrightarrow{r_i}}\times \dot{\overrightarrow{r_i}}=0$ oraz $m_i\ddot{\overrightarrow{r_i}}=\overrightarrow{F_i},$ to pozostaje tylko obliczyć iloczyn $\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_i}.$

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony ${\overrightarrow{F}}_{ij}$) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

$\sum _{i=1}^N\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_i}=\sum _{i=1}^N(\overrightarrow{r_i}\times (\sum _{i\ne j}^N\overrightarrow{F_{ij}}+{\overrightarrow{F_i}}^{\prime }))=\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{r}}_i\times {{\overrightarrow{F}}_i}^{\prime }.$

Ponieważ

$\overrightarrow{F_{ij}}=-\overrightarrow{F_{ji}},$

to

$\overrightarrow{r_i}\times \overrightarrow{F_{ij}}=-\overrightarrow{r_j}\times \overrightarrow{F_{ji}},$

a dla każdej siły

$\overrightarrow{F_{ij}}$

występuje siła

$\overrightarrow{F_{ji}}.$

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}}{\mathrm{d}t}=\sum _{i=1}^N\overrightarrow{r_i}\times {\overrightarrow{F_i}}^{\prime }.$

Jeżeli układ jest odosobniony, to

${{\overrightarrow{F}}_i}^{\prime }=0,$

czyli

$\mathrm{const}\overrightarrow{L}.$

Zobacz też

• zasada zachowania pędu