Równanie stanu (termodynamika)

Równanie stanu – związek między parametrami (funkcjami stanu) układu termodynamicznego, takimi jak:

• ciśnienie $p,$
• gęstość masy $\rho$ (w przypadku relatywistycznym gęstość masy-energii i gęstość numeryczna cząstek),
• temperatura $T,$
• entropia $s,$
• energia wewnętrzna $u,$

który można zapisać w postaci następującego równania:

$p=p(\rho ,T,s,u\dots ).$

Równanie stanu służy do opisywania właściwości mikroskopowych płynów oraz ciał stałych, takich jak ściśliwość lub sprężystość, oraz własności makroskopowych, jak np. masy i promienie gwiazd.

Gaz doskonały

Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu (równanie Clapeyrona) ma postać

$pV=nRT=k_{\mathrm{B}}TN,$

gdzie:

$p$ – ciśnienie,

$V$ – objętość,

$n$ – liczba moli,

$R$ – stała gazowa,

$T$ – temperatura w skali Kelvina,

$k_{\mathrm{B}}$ – stała Boltzmanna,

$N$ – liczba cząsteczek gazu,

stąd:

$p=k_{\mathrm{B}}T(N/V)=k_{\mathrm{B}}T{\rho }_N,$

gdzie gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego ${\rho }_N$ to:

${\rho }_N=\frac{N}{V}.$

Gęstość masy $\rho$ to:

$\rho =m\frac{N}{V}=m{\rho }_N,$

gdzie $m$ to masa cząsteczkowa.

Gęstość energii $ϵ$ to

$ϵ=m{c}^2\frac{N}{V}=m{c}^2{\rho }_N,$

gdzie:

$m{c}^2$ – całkowita energia cząsteczki o masie $m.$

Otrzymujemy stąd równanie stanu gazu doskonałego:

$p=\frac{k_{\mathrm{B}}T}{m{c}^2}ϵ=Kϵ.$

Równanie politropy

Bardziej ogólną postać od równania gazu doskonałego daje równanie politropy

$p=K{ϵ}^{\mathrm{\Gamma }}=K{ϵ}^{1+\frac{1}{w}},$

gdzie:

$w$ – wykładnik politropy.

Równanie stanu gazu rzeczywistego

Równanie stanu gazu rzeczywistego można przybliżać na różne sposoby, np. Szablon:OdnSzablon:Odn (wzory dla jednego mola, $n=1$).

Równanie	Postać	Współczynnik krytyczny $\frac{p_{\mathrm{k}}{V}_{\mathrm{k}}}{R{T}_{\mathrm{k}}}$	Uwagi
równanie van der Waalsa	$(p+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$	$\frac{3}{8}=0,375$	najlepiej znane
równanie Clausiusa	$(p+\frac{a}{(V+c{)}^{2}T})(V-b)=RT$
równanie Berthelota	$(p+\frac{a}{T{V}^2})(V-b)=RT$	$\frac{3}{8}=0,375$	lepiej niż r. v. d. W. opisuje zachowanie gazów przy niskich ciśnieniach i temperaturach wyższych od krytycznej
równanie Dietericiego	$p=\frac{RT}{V-b}{e}^{-\frac{a}{RTV}}$	$\frac{2}{{\mathrm{e}}^2}\approx 0,271$	dla umiarkowanych ciśnień lepiej, dla wysokich gorzej zgadza się z doświadczeniem niż r. v. d. W.
równanie Wukałowicza-Nowikowa	$pV=RT(1-\frac{pC}{T^{\frac{5+2f}{2}}})$
zaproponowane przez Callendara	$V-b=\frac{RT}{p}-c_0{\left(\frac{T_0}{T}\right)}^w$		nie można go stosować w pobliżu punktu krytycznego
zaproponowane przez Beattie i Bridgemana	$\frac{pV}{RT}=(1-\frac{c}{V{T}^3})(1+\frac{B_0}{V}-\frac{B_{0}b}{V^2})-\left(\frac{A_0}{RTV}\right)(1-\frac{a}{V})$

Przy czym $a,b,c,C,f$ – stałe

Hipoteza stanów odpowiednich mówi, w odniesieniu do gazów, że dla tych samych parametrów zredukowanych gazy zachowują się tak samo, tak jak sugerują to równanie van der Waalsa, Berthelota i Dietericiego, czyli wykazują podobieństwo termodynamiczne.

Rozwinięcie wirialne:

$\frac{pV}{RT}=1+\frac{B(T)}{V}+\frac{C(T)}{V^2}+\frac{D(T)}{V^3}+\dots$

lub

$\frac{pV}{RT}=1+B^{\prime }(T)p+C^{\prime }(T)p^2+D^{\prime }(T)p^3+\dots$

to najogólniejsza postać równania stanu gazów rzeczywistych.

Kosmologia

Różne rodzaje materii mają różna równania stanu. Równanie stanu jest istotnym równaniem determinującym budowę i ewolucje gwiazdy.

W kosmologii równanie stanu determinuje ewolucję Wszechświata. W prostych modelach przyjmuje się, że poszczególne składniki wszechświata mają równanie stanu niezależne od temperatury, postaci

$P=w\rho c^2.$

• Dla „pyłu”, czyli zwykłej materii rozumianej jako „gaz galaktyk”, tak jak dla ciemnej materii, pomija się ciśnienie, czyli $w=0.$
• Dla „promieniowania”, materii ultrarelatywistycznej (gdy masa $m\to 0$), np. gazu fotonowego, $w=1/3.$
• Dla kwintesencji $w<-1/3.$
  • W szczególności dla stałej kosmologicznej $w=-1$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę