Transformacja naturalna

Transformacja naturalna – w teorii kategorii przekształcenie jednego funktora w drugi pełniące rolę homomorfizmu wyższego rzędu w kategorii funktorów.

Definicje

Jeżeli $𝔄,𝔅$ są kategoriami, a $F:𝔄\to 𝔅,$ $G:𝔄\to 𝔅$ są parą równoległych funktorów kowariantnych, to transformacją naturalną z $F$ do $G$ nazywamy rodzinę $\{{\eta }_X{\}}_{X\in {𝔄}^o}$ morfizmów ${\eta }_X:F(X)\to G(X)$ kategorii $𝔅$ indeksowaną obiektami $X\in {𝔄}^o=\mathrm{O}\mathrm{b}𝔄,$ taką, że dla dowolnego morfizmu $f:X\to Y$ w $𝔄$ następujący diagram komutuje:

tzn. ${\eta }_{Y}F(f)=G(f){\eta }_X$Szablon:OdnSzablon:Odn. Transformację taką oznaczamy symbolem $\eta :F\to G.$ Morfizmy $({\eta }_X{)}_{X\in {𝔄}^o}$ nazywamy komponentami transformacji naturalnej $\eta .$

Funktory $F$ i $G$ nazywamy naturalnie równoważnymi, gdy istnieje transformacja naturalna $\{{\eta }_X{\}}_{X\in {𝔄}^o}$ morfizmów ${\eta }_X:F(X)\to G(X)$ taka, że dla każdego $X\in {𝔄}^o$ morfizm ${\eta }_X$ jest izomorfizmem w kategorii $𝔅.$

Złożeniem transformacji naturalnych $\eta :F\to G$ i $\theta :G\to H$ jest transformacja naturalna $\theta \eta :F\to H$ określona jako rodzina złożeń $\{{\theta }_X{\eta }_X{\}}_{X\in {𝔄}^o}.$

Analogicznie definiuje się transformacje naturalne multifunktorów, tzn. funktorów z produktu kategorii ${𝔄}_1\times \dots \times {𝔄}_n$ do $𝔅.$

Jeżeli $F:𝔄\to 𝔅,$ $G:𝔄\to 𝔅$ jest parą równoległych funktorów kontrawariantnych, to definiujemy transformacje naturalne z $F$ do $G$ traktując $F$ i $G$ jako funktory kowariantne z kategorii ${𝔄}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ do $𝔅$Szablon:Odn.

Przykłady

Niech $𝔄=𝔅=𝐕𝐞𝐜𝐭$ będzie kategorią przestrzeni liniowych $V$ nad ciałem $ℝ$ i przekształceń liniowych $f:V_1\to V_2.$ Przestrzeń sprzężona (dualna) $V^{*}$ jest określona jako przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych $f:V\to ℝ.$ Przyporządkowując każdemu wektorowi $u$ przestrzeni $V$ funkcjonał ${\psi }_u$ na $V^{*},$ należący do $V^{**}=(V^{*}{)}^{*},$ określony wzorem ${\psi }_u(\phi )=\phi (u)$ dla $\phi \in V^{*},$ otrzymujemy kanoniczny monomorfizm liniowy ${\psi }_V:V\to V^{**}$Szablon:Odn. Rodzina $\{{\psi }_V{\}}_{V\in 𝐕𝐞𝐜{𝐭}^{𝐨}}$ jest transformacją naturalną funktora tożsamościowego $𝐕𝐞𝐜𝐭\to 𝐕𝐞𝐜𝐭$ w funktor drugiej sprzężonej $𝐕𝐞𝐜𝐭\to 𝐕𝐞𝐜𝐭$ określony przez przyporządkowanie obiektowe $V\mapsto V^{**}.$ Gdy ograniczymy się do podkategorii przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych, otrzymujemy równoważność naturalną – tę, od której Eilenberg i MacLane zaczęli objaśnianie teorii kategorii.

Ogólniej, niech $𝐕𝐞𝐜𝐭$ oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem $K$ i niech $B$ będzie ustalonym obiektem. Symbolem Hom(–, B) oznaczamy funktor kontrawariantny z $𝐕𝐞𝐜𝐭$ do $𝐕𝐞𝐜𝐭$ (zdefiniowany analogicznie do funktorów głównych kontrawariantnych), nadając zbiorom $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$ zwykłą strukturę przestrzeni wektorowej. Złożenie tego funktora z samym sobą daje funktor kowariantny $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,B),B)$ z $𝐕𝐞𝐜𝐭$ do $𝐕𝐞𝐜𝐭.$ Każdemu $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝐕𝐞𝐜𝐭$ przyporządkowujemy kanoniczne przekształcenie liniowe ${\eta }_A$ z $A$ w $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B),B),$ którego szczególny przypadek omawialiśmy powyżej. Jest to transformacja naturalna funktora tożsamościowego na $𝐕𝐞𝐜𝐭$ w funktor $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,B),B)$Szablon:Odn.

Niech $𝐙$ oznacza grupę liczb całkowitych (obiekt wolny o jednym generatorze w kategorii $𝐀𝐛$ grup abelowych). Funktor kowariantny $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝐙,-):𝐀𝐛\to 𝐀𝐛$ jest naturalnie równoważny funktorowi tożsamościowemu na $𝐀𝐛,$ a komponentami tej transformacji naturalnej są homomorfizmy grup ${\eta }_A:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝐙,A)\to A$ określone jako ${\eta }_A(\phi )=\phi (1)$ dla homomorfizmów $\phi :𝐙\to A.$

Ze znanych własności produktów tensorowych grup abelowych (a także przestrzeni liniowych i modułów nad pierścieniami) wynika równoważność naturalna funktorów trzech zmiennych $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({?}_1\otimes {?}_2,{?}_3)$ i $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({?}_1,\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({?}_2,{?}_3)),$ gdzie ${?}_1,{?}_2,{?}_3$ są symbolami tych zmiennychSzablon:Odn.

Bifunktor mnożenia kartezjańskiego z $𝐒𝐞𝐭\times 𝐒𝐞𝐭$ do $𝐒𝐞𝐭,$ który każdej parze obiektów $X,Y$ (zbiorów w $\mathrm{O}\mathrm{b}𝐒𝐞𝐭$) przyporządkowuje zbiór $\mathrm{\Phi }(X,Y)=X\times Y,$ a każdej parze morfizmów $\alpha :X_1\to X_2,$ $\beta :Y_1\to Y_2$ przyporządkowuje odpowiadające im przekształcenie iloczynów kartezjańskich, jest naturalnie równoważny analogicznie zdefiniowanemu bifunktorowi $\mathrm{\Psi }(X,Y)=Y\times X.$ Odpowiednią transformację naturalną wyznaczają bijekcje ${\eta }_{X,Y}:X\times Y\to Y\times X$ przyporządkowujące parze $⟨a,b⟩$ parę $⟨b,a⟩.$ Podobnie ustala się naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych o przyporządkowaniu obiektowym A×(B×C) → (A×B)×CSzablon:Odn.

Transformacją naturalną dla funktora $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:𝐒𝐞𝐭\to 𝐌𝐨𝐧$ z kategorii zbiorów do kategorii monoidów jest operacja $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}:\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\to \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t},$ która – mając daną listę – odwraca jej elementy:

$[1,2,8,7]\stackrel{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}{\to }[7,8,2,1]$

Dla zbioru $A$ komponent ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}_A:\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A)\to \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A)$ jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z $A.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, [1]
• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Otwarty dostęp Functorial morphism Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].