Rodzina indeksowana

Szablon:Definicja intuicyjna Szablon:Spis treści Rodzina indeksowana, układ indeksowany lub po prostu układ – zestaw elementów oznaczonych indeksami; uogólnienie pojęcia ciągu na funkcje określone na dowolnych, nawet nieprzeliczalnych, zbiorach indeksów. Bardziej formalnie, rodzina indeksowana to funkcja odzworowująca dziedzinę $I$ (zbiór indeksów) w obraz $X$ (zbiór indeksowany).

Przykłady:

• Układ liczb rzeczywistych indeksowany liczbami całkowitymi to zbiór liczb rzeczywistych, gdzie każda liczba całkowita jest powiązana z jedną liczbą rzeczywistą.
• Rodzina prostych (będących zbiorami) indeksowana liczbami naturalnymi to zbiór prostych, gdzie każda liczba naturalna ma przypisaną do niej prostą.

Definicja

Układem lub rodziną elementów zbioru $X$ indeksowaną przez (o indeksach/wskaźnikach ze zbioru) $I$ nazywa się funkcję $x:I\to X$ oznaczaną symbolami $\{x_i{\}}_{i\in I},$ bądź $\{x_i\};$ obrazy $x(i)$ oznacza się zwyczajowo $x_i$.

Dowolny zbiór $X$ można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę $(x{)}_{x\in X}$ indeksowaną elementami tego zbioru. W szczególności: gdy $X=\{x_i{\}}_{i=1}^n,$ to można wyróżnić związany z tym zbiorem układ elementów $(x_i{)}_{i=x_1}^{x_n}$.

Elementy zbioru $X$ same mogą być zbiorami, wówczas mówi się o rodzinach zbiorów indeksowanych przez $I.$ Wtedy funkcja $x:I\to 𝒫(X)$ odwzorowuje zbiór indeksów w zbiór potęgowy pewnego zbioru $X.$

Rodzinę/układ $(y_j{)}_{j\in J}$ nazywa się podrodziną/podukładem rodziny/układu $(x_i{)}_{i\in I},$ gdy $J\subseteq I$ oraz $y_j=x_j$ dla każdego $j\in J$.

Przykłady

Niech $[n]$ oznacza zbiór skończony $\{1,2,\dots ,n\}$ ($n$ oznacza dodatnią liczbę całkowitą). Wówczas:

• para uporządkowana to układ/rodzina indeksowana o wskaźnikach ze zbioru dwuelementowego $[2]=\{1,2\},$
• n-tka to rodzina indeksowana przez $[n],$
• ciąg nieskończony to układ/rodzina indeksowana liczbami naturalnymi,
• macierz typu $n\times m$ to rodzina indeksowana iloczynem kartezjańskim $[n]\times [m],$
• sieć to rodzina zbiorów indeksowana przez zbiór skierowany.

Rodzina a zbiór

Funkcje „na” (surjektywne) i rodziny indeksowane są formalnie równoważne – każda funkcja $f:I\to X$ zadaje rodzinę $(f(i){)}_{i\in I}.$ Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest różnowartościowa (iniektywna).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór $X:=\{f(i):i\in I\},$ czyli obraz $f,$ w którym elementy $f(i)=f(j)$ dla $i\ne j$ utożsamiane są z elementami zbioru $X.$ Gleichgewicht obrazuje to następująco: gdy układ jest ciągiem, to podukład jest podciągiem; a gdy jest zbiorem, podukład jest podzbiorem.

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze $I.$

Notacja wskaźnikowa

Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie:

Wektory ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$ są liniowo niezależne.

Tutaj $({𝐯}_i{)}_{i\in \{1,\dots ,n\}}$ oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na $i$-ty wektor ${𝐯}_i$ ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje $i$-ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla $n=2$ oraz ${𝐯}_1={𝐯}_2:=[1,0]$ zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze

Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie:

Macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze $A$ są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze $A$ są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],$

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu $[1,1],$ co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak więc zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania

Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli $(a_i{)}_{i\in I}$ jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

$\sum _{i\in I}{a}_i.$

Sumę rodziny zbiorów $(A_i{)}_{i\in I}$ oznacza się analogicznie:

$\bigcup _{i\in I}{A}_i.$

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Uogólnienia

Szablon:Osobny artykuł Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii $𝐂,$ indeksowany przez inną kategorię $𝐉.$

Zobacz też

• koprodukt
• rekord z wariantami
• rodzina parametryzowana
• suma rozłączna
• tablica

Literatura

• Japońskie Towarzystwo Matematyczne, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, wyd. II, 2 tomy, Kiyosi Itô (red.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993; cytowane jako EDM (tom).