Niezmiennik

Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany itp.

Bardziej formalnie, jeśli klasa obiektów $𝔐$ wyposażona jest w relację równoważności ρ, a $𝒩$ jest dowolnym zbiorem, to niezmiennikiem (relacji równoważności ρ) nazywamy dowolną funkcję $\varphi :𝔐\to 𝒩$ stałą na klasach abstrakcji relacji ρ. Nieco ściślej możemy wtedy mówić o niezmienniku relacji równoważności ρ. Jeśli $X\in 𝔐,$ to często się mówi, że $\varphi (X)$ jest niezmiennikiem obiektu $X$.

Problem istnienia niezmienników jest ściśle związany z problemami klasyfikacji obiektów matematycznych. Celem każdej klasyfikacji matematycznej jest bowiem skonstruowanie zupełnego układu niezmiennikówSzablon:R.

Termin „niezmiennik” został wprowadzony przez amerykańskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra w roku 1851Szablon:R.

Przykłady niezmienników

• Niech $𝔐$ będzie zbiorem płaskich krzywych rzeczywistych drugiego stopnia, a relacja ρ niech będzie relacją zdefiniowaną następująco:

krzywa $\mathrm{\Gamma }\in 𝔐$ jest równoważna krzywej ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\in 𝔐$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem izometrycznym drugiej.

Jeśli krzywa $\mathrm{\Gamma }\in 𝔐$ jest w kartezjańskim układzie współrzędnych dana równaniem

$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+2Dx+2Ey+F=0,$

to liczby

$\sigma (\mathrm{\Gamma })=A+C,\delta (\mathrm{\Gamma })=\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right|,\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Gamma })=\left|\begin{array}{ccc}A& B& D\\ B& C& E\\ D& E& F\end{array}\right|$

nie zależą od wyboru układu współrzędnych, choć samo równanie linii zależy. Dwie krzywe są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wielkości są dla nich takie sameSzablon:R. Każda z tych wielkości jest funkcją $𝔐\to ℝ$ stałą na klasach abstrakcji relacji równoważności ρ, a więc jest niezmiennikiem określonym na $𝔐.$

• Niech $𝔐$ będzie zbiorem uporządkowanych czwórek współliniowych punktów rzeczywistej przestrzeni rzutowej. Dwie czwórki są równoważne, jeśli jedna z nich jest obrazem drugiej przy przekształceniu rzutowym przestrzeni. Jak wiadomo, przekształcenie rzutowe nie zmienia dwustosunku czwórek uporządkowanych punktów współliniowych, czyli dwustosunek jest ich niezmiennikiem.
• Według Kleina geometria afiniczna przestrzeni trójwymiarowej jest teorią niezmienników grupy przekształceń liniowych zawierającej: przesunięcia równoległe, obroty dokoła środka układu współrzędnych O, symetrie względem tego samego środka O, homotetie o środku O. W oryginalnym tekście Klein nie używa co prawda nazwy geometria afiniczna, ale z wyszczególnienia przekształceń wynika, że o tę geometrię mu chodziło. Takimi cechami niezmienniczymi są na przykład: równoległość prostych, leżenie punktów na jednej prostej, leżenie punktów na jednej płaszczyźnie.

Zobacz też

• całka ruchu
• niezmiennik j
• niezmiennik metryczny
• niezmiennik pętli
• niezmiennik przekształcenia
• niezmiennik przekształcenia geometrycznego
• niezmiennik relatywistyczny
• niezmiennik topologiczny

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Invariant Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].