Niezmiennik j

Funkcja na płaszczyźnie zespolonej

Niezmiennik $j$, inaczej $j$-niezmiennik – pojęcie matematyczne wprowadzone przez Kleina, definiowalne na dwa sposoby:

• czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi,
• analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.

Definicja analityczna

Niezmiennik $j,$ zapisywany $j(\tau )$ definiuje się dla wartości zespolonych $\tau$ z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których $\mathrm{\Im }\tau >0.$ Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, $j$ można zdefiniować w następujący sposób:

$j(\tau )=32\frac{[\vartheta (0;\tau {)}^8+{\vartheta }_{01}(0;\tau {)}^8+{\vartheta }_{10}(0;\tau {)}^8{]}^3}{[\vartheta (0;\tau ){\vartheta }_{01}(0;\tau ){\vartheta }_{10}(0;\tau ){]}^8},$

gdzie $\vartheta ,$ ${\vartheta }_{01}$ i ${\vartheta }_{10}$ to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika $j$ to:

$j(\tau )=\frac{g_2^3}{\mathrm{\Delta }},$

gdzie $g_2$ to ‘drugi niezmiennik modularny’ zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako $60G_2,$ gdzie $G_2$ to drugi wyraz tego szeregu), zaś $\mathrm{\Delta }$ to wyróżnik modularny.

Definicja algebraiczna

Niech

$E:y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$

będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:

$\begin{array}{cc}{b}_2=a_1^2+4a_2,& b_4=a_1{a}_3+2a_4,\\ b_6=a_3^2+4a_6,& b_8=a_1^2{a}_6-a_1{a}_3{a}_4+a_2{a}_3^2+4a_2{a}_6-a_4^2,\\ c_4=b_2^2-24b_4,& c_6=-b_2^3+36b_2{b}_4-216b_6\end{array}$

oraz

${\mathrm{\Delta }}_E=-b_2^2{b}_8+9b_2{b}_4{b}_6-8b_4^3-27b_6^2$

(wyróżnik krzywej).

$j$-niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:

$j_E=\frac{c_4^3}{\mathrm{\Delta }}.$

W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:

$j_E=1728\frac{c_4^3}{c_4^3-c_6^2}.$

Własności

$j,$ rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności:

$j(\tau +1)=j(\tau ),$

$j(-\frac{1}{\tau })=j(\tau ).$