Forma modularna

Forma modularna – funkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w geometrii algebraicznej czy teorii strun.

Definicja formalna

Niech $N$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna ${\mathrm{\Gamma }}_0(N)$ zdefiniowana jest w sposób następujący:

${\mathrm{\Gamma }}_0(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z}):c\equiv 0(\mathrm{mod}N)\}.$

Niech $k$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru $k$ poziomu $N$ nazywa się funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyźnie zespolonej $ℍ$ taką, że dla każdego

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{\Gamma }}_0(N)$

i dowolnego $z\in ℍ$ zachodzi

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$

oraz $f$ jest holomorficzna w ostrzach.

Wersje definicji

W literaturze matematycznej występuje wiele definicji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas „kanoniczna” definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

Własności

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji $a=b=d=1,c=0$), że każda forma modularna spełnia równanie

$f(z+1)=f(z),$

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej $q=exp(2\pi iz).$ Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną liczbę wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\exp (2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{q}^n,$

gdzie przyjmuje się, że $m$ jest najmniejszą liczbą taką, że $c_{-m}\ne 0.$ Liczbę $m$ nazywamy rzędem osobliwości w biegunie $i\mathrm{\infty }$.

Zobacz też

• forma automorficzna

Bibliografia

• J.S. Milne, Modular functions and modular forms, notatki do wykładu.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Modular form Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].