Grupa modularna

Szablon:Dopracować Grupa modularna $\mathrm{\Gamma }$ (Gamma) – grupa o bogatej strukturze, stanowiąca obiekt zainteresowania i badań w wielu dziedzinach matematyki, m.in. w teorii liczb, teorii reprezentacji i geometrii algebraicznej. $\mathrm{\Gamma }$ można zdefiniować w terminach przekształceń geometrycznych lub macierzy.

Definicja

Grupa modularna $\mathrm{\Gamma }$ zdefiniowana jest jako zbiór liniowych przekształceń ułamkowych (przekształceń Möbiusa) górnej półpłaszczyzny zespolonej na siebie,

$f(\tau )=\frac{a\tau +b}{c\tau +d},$

gdzie $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ oraz $ad-bc=1.$

Działaniem grupowym jest składanie funkcji. $\mathrm{\Gamma }$ jest izomorficzna jako grupa ze specjalną rzutową grupą liniową $\text{PSL}(2,\mathbb{Z}),$ która jest ilorazem 2-wymiarowej specjalnej grupy liniowej nad liczbami całkowitymi $\text{SL}(2,\mathbb{Z})$ przez jej centrum $\{I,-I\}.$ Innymi słowy, $\text{PSL}(2,\mathbb{Z})$ jest grupą macierzy (działaniem jest mnożenie) postaci

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$

gdzie $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ oraz $\det M=ad-bc=1,$ przy czym utożsamiamy ze sobą macierze $A$ i $-A.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Modular group Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].