Pochodna Pincherlego

Pochodna Pincherlego – operator liniowy $T^{\prime }:K[x]\to K[x]$ przekształcający inny operator liniowy $T:K[x]\to K[x],$ określony na przestrzeni liniowej wielomianów zmiennej $x$ z ciała $𝕂,$ zdefiniowany wzorem

$T^{\prime }=[T,x]=Tx-xT=-\mathrm{ad}(x)T$

tak, że

$T^{\prime }(p(x))=T(xp(x))-xT(p(x))$ dla każdego $p(x)\in K[x].$

Innymi słowy, pochodna Pincherlego to komutator $T$ z mnożeniem przez $x$ w algebrze endomorfizmów $\mathrm{End}(K[x]).$

Pojęcie to nazwano po włoskim matematyku, Salvatore Pincherle (1853–1936).

Własności

Pochodna Pincherlego, jak każdy komutator jest różniczkowaniem, co oznacza, że spełnia prawa dodawania i mnożenia: dla danych dwóch operatorów liniowych $S$ i $T$ należących do $\mathrm{End}(K[x])$ jest

• $(T+S{)}^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime },$
• $(TS{)}^{\prime }=T^{\prime }S+T{S}^{\prime },$ gdzie $TS=T\circ S$ jest złożeniem operatorów,
• $[T,S{]}^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }],$ gdzie $[T,S]=TS-ST$ jest zwykłym nawiasem Liego.

Zwykła pochodna, $\mathrm{D}=\frac{d}{dx}$ jest operatorem wielomianowym. Policzenie wprost daje, że jego pochodna Pincherlego to ${\mathrm{D}}^{\prime }=\left(\frac{d}{dx}\right)={\mathrm{Id}}_{K[x]}=1.$

Wzór ten uogólnia się do $\left({\mathrm{D}}^n\right)=\left(\frac{d^n}{d{x}^n}\right)=n{\mathrm{D}}^{n-1}$ przez indukcję. Dowodzi to, że pochodna Pincherlego operatora różniczkowego $\partial =\sum a_n\frac{d^n}{d{x}^n}=\sum a_n{\mathrm{D}}^n$ również jest operatorem różniczkowym, a więc pochodna Pincherlego jest różniczkowaniem $\mathrm{Diff}(K[x]).$

Operator przesunięcia $S_h(f)(x)=f(x+h)$ może być zapisany jako $S_h=\sum _n\frac{h^n}{n!}{\mathrm{D}}^n$ ze wzoru Taylora. Wtedy jego pochodna Pincherlego to ${S_h}^{\prime }=\sum _n\frac{h^n}{(n-1)!}{\mathrm{D}}^{n-1}=h\cdot S_h.$ Innymi słowy, operatory przesunięcia są wektorami własnymi pochodnej Pincherlego, którego spektrum jest cała przestrzeń skalarów $K.$

Jeżeli $T$ jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia, tzn. jeżeli $T$ komutuje z $S_h$ lub $[T,S_h]=0,$ to zachodzi wtedy również $[T^{\prime },S_h]=0,$ a więc $T^{\prime }$ również jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia o to samo przesunięcie $h.$

„Operator delta z czasem dyskretnym” $(\delta f)(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ to operator $\delta =\frac{1}{h}(S_h-1),$ którego pochodna Pincherlego jest operatorem przesunięcia ${\delta }^{\prime }=S_h.$

Zobacz też

• analiza symboliczna
• komutator
• operator delta

Linki zewnętrzne

• Szablon:Lang Weisstein, Eric W. „Pincherle Derivative” na MathWorld.
• Szablon:Lang Biography of Salvatore Pincherle w archiwum historii matematyki MacTutor.