Pierścień endomorfizmów

Szablon:Spis treści Pierścień endomorfizmów – pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abelowe

Niech $(A, +)$ będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy $A$ są endomorfizmy określone na $A,$ tzn. homomorfizmy grupowe $A \to A .$ Każde dwa takie endomorfizmy $f$ oraz $g$ mogą być dodawane (zgodnie z wzorem $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ ), a ich wynik, $f + g,$ również jest endomorfizmem $A .$ Co więcej, $f$ i $g$ mogą być składane, dając tym samym endomorfizm $f \circ g .$ Zbiór wszystkich endomorfizmów $A$ wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na $A .$ Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga: Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem^[1]

Moduły i przestrzenie liniowe

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego^[2], ang. regular). Odwrotnie, $R$ -moduł $M$ jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia $R$ w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej $M .$

Jeżeli $K^{n}$ jest przestrzeń liniową nad ciałem $K,$ to pierścień endomorfizmów $K^{n}$ (składający się ze wszystkich $K$ -przekształceń liniowych $K^{n} \to K^{n}$ ) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu $n \times n$ o elementach z $K$ ^[3] (zob. macierz).

Teoria kategorii

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych $𝐀 𝐛$ w kategorię pierścieni $𝐑 𝐢 𝐧 𝐠$ za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

Własności

Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)^[4];
moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów^[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Szablon:Przekształcenia liniowe

↑ David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
↑ Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu $N$ istnieje homomorfizm $α : M \to N$ taki, że $α^{2} = α,$ $im α$ jest projektywny i $(1 - α) N = 0 .$
↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.
↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.

[1] David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.

[2] Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu $N$ istnieje homomorfizm $α : M \to N$ taki, że $α^{2} = α,$ $im α$ jest projektywny i $(1 - α) N = 0 .$

[3] Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.

[4] Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.

[5] Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]