Pierwiastnik

Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych oraz pierwiastków stopni naturalnychSzablon:Fakt.

Pierwiastnikiem względem liczb $x,y$ oraz $\pi$ jest np. $\sqrt[5]{x+\sqrt{\pi y+x}}.$ Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Definicja formalna

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)

Liczbę zespoloną $z$ można przedstawić za pomocą pierwiastników, jeśli istnieją liczby zespolone $z_1,\dots ,z_n$ oraz liczby naturalne $k_1,\dots ,k_n$ takie, że kładąc

$K_0=\mathbb{Q}$ (ciało liczb wymiernych), $K_i=K_{i-1}(z_i)$ (rozszerzenie ciała $K_{i-1}$ o element $z_i$) dla $i=1,\dots ,n$

będziemy mieli

• $z_i^{k_i}\in K_{i-1}$ dla wszystkich $i=1,\dots ,n$ oraz $z\in K_n.$

Liczbę $k=\max \{k_1,\dots ,k_n\}$ nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy $\mathbb{Q}$ przez pewne ciało $K\subseteq ℂ,$ to otrzymamy definicję przedstawialności liczby $z$ w pierwiastnikach nad ciałem $K.$ Jeśli $K=\mathbb{Q}(a_1,\dots ,a_m),$ to powiemy, że $z$ jest przedstawialna w pierwiastnikach względem $a_1,\dots ,a_m$.

Definicja 2 (ogólniejsza)

Niech $K$ będzie ciałem o charakterystyce 0. Element $a$ jest pierwiastnikowy względem ciała $K$ (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała $K$), gdy istnieje ciąg ciał $K=K_0\subset K_1\subset \dots \subset K_r$ oraz $a\in K_r,$ dla których zachodzi warunek:

• dla $i=1,2,\dots ,r$ ciało $K_i$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci $x^{n_i}-a_i\in K_{i-1}[x].$

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała $K$ oznacza się zwykle przez $r(K)$ i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała $K$Szablon:Odn.

Jeśli $K$ jest ciałem charakterystyki $p>0,$ to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

• dla $i=1,2,\dots ,r$ ciało $K_i$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci $x^{n_i}-a_i\in K_{i-1}[x],$ gdzie $p\text{⧸}\mathrm{|}{n}_i,$ albo wielomianu postaci $x^p-x-a_i\in K_{i-1}[x]$Szablon:Odn.

Własności

• Zbiór $r(K)$ jest ciałemSzablon:Odn.
• Każdy element pierwiastnikowy względem $r(K)$ należy do $r(K)$Szablon:Odn.
• Jeśli $p,q\in \mathbb{Q}$ oraz równanie

$z^3+pz+q=0$

nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.

• Jeżeli $p$ i $q$ są liczbami pierwszymi, to równanie $x^p-2qx-q=0$ nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem $\mathbb{Q}$Szablon:Odn.

Znaczenie i użycie

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała $\mathbb{Q}$ (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijkiSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę