Jądro (teoria kategorii)

Szablon:Spis treści Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.

Jądro morfizmu

Niech $𝔎$ będzie kategorią z morfizmami zerowymi.

Morfizm $μ : K \to A$ nazywamy jądrem morfizmu^[1] $α : A \to B,$ jeśli:

$α μ = 0$
dla każdego morfizmu $φ : H \to A,$ takiego że $α φ = 0$ istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm $ψ : H \to K,$ że $φ = μ ψ .$

Jądro morfizmu $α$ oznaczane jest przez $\ker α .$

Jeśli $μ = \ker α$ i $μ^{'} = \ker α,$ to istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony izomorfizm $ξ,$ że $μ^{'} = μ ξ .$ Na odwrót, jeśli $μ = \ker α$ i $ξ$ jest izomorfizmem, to morfizm $μ^{'} = μ ξ$ jest jądrem $α .$ Zatem wszystkie jądra morfizmu $α$ tworzą podobiekt obiektu $A,$ który oznaczany jest przez $K e r α .$

Własności jądra morfizmu

Jeśli $μ = \ker α,$ to $μ$ jest monomorfizmem normalnym. Twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
Jądrem morfizmu zerowego $0 : A \to B$ jest morfizm jednostkowy $1_{A} .$
Jądro morfizmu jednostkowego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w $𝔎$ istnieje obiekt zerowy.
Nie w każdej kategorii z morfizmami zerowymi każdy morfizm ma jądro.
W kategorii $𝔎$ z obiektem zerowym morfizm $α : A \to B$ posiada jądro wtedy i tylko wtedy, gdy w $𝔎$ istnieje kwadrat uniwersalny względem morfizmów $α$ i $0 : 0 \to B .$ Warunek ten jest spełniony w szczególności dla dowolnego morfizmu lokalnie małej lewostronnie kategorii z obiektem zerowym i koiloczynem.

Kojądro morfizmu

Niech $𝔎$ będzie kategorią z morfizmami zerowymi. Morfizm $ν : B \to C$ nazywa się kojądrem morfizmu^[2] $α : A \to B,$ jeśli:

$α ν = 0$
dla każdego morfizmu $φ : B \to D,$ takiego że $φ α = 0$ istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm $ψ : C \to D,$ że $φ = ψ ν .$

Kojądro morfizmu $α$ oznacza się $c o k e r α .$

Jeśli $ν = c o k e r α$ i $ν^{'} = c o k e r α,$ to istnieje jednoznacznie określony izomorfizm $ξ,$ że $ν^{'} = ξ ν .$

Na odwrót, jeśli $ν = c o k e r α$ i $ξ$ jest izomorfizmem, to $ν^{'} = ξ ν$ jest kojądrem morfizmu $α .$ Zatem wszystkie kojądra morfizmu $α$ tworzą obiekt ilorazowy obiektu $B,$ który oznacza się $C o k e r α .$

Pojęcie to jest dualne do pojęcia jądra morfizmu. W kategoriach przestrzeni wektorowych, grup, pierścieni i innych struktur algebraicznych opisuje największy obiekt ilorazowy obiektu $B$ zerujący obraz homomorfizmu $α : A \to B .$

Własności kojądra morfizmu

Jeśli $ν = c o k e r α,$ to $ν$ jest epimorfizmem konormalnym. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.
Kojądro morfizmu zerowego $0 : A \to B$ jest równe $1_{B} .$
Kojądro morfizmu $1_{A}$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w $𝔎$ jest obiekt zerowy.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Szablon:Teoria kategorii

↑ Математическая энциклопедия, t. 5, op. cit., s. 1044.
↑ Математическая энциклопедия, t. 3, op. cit., s. 74.

[1] Математическая энциклопедия, t. 5, op. cit., s. 1044.

[2] Математическая энциклопедия, t. 3, op. cit., s. 74.

[1]

[2]