Morfizm zerowy

Szablon:Spis treści Jeśli dla pary uporządkowanej $(A,B)$ obiektów z kategorii $𝔎$ istnieje morfizm $0_{BA}:A\to B,$ taki że dla wszystkich morfizmów $v:B\to C$ i $u:D\to A$

$v{0}_{BA}=0_{CA},0_{BA}u=0_{BD},$

to $0_{BA}$ nazywamy morfizmem zerowym.

Morfizm zerowy można również zdefiniować za pomocą pojęć morfizmu stałego i morfizmu costałego.

Morfizm $A\stackrel{f}{\to }B$ nazywamy morfizmem stałym, jeśli dla każdej pary morfizmów $A^{\prime }\stackrel{r}{\to }A$ i $A^{\prime }\stackrel{s}{\to }A$ zachodzi równość $f\circ r=f\circ s.$

Morfizm $A\stackrel{f}{\to }B$ nazywamy morfizmem costałym, jeśli dla każdej pary morfizmów $B\stackrel{u}{\to }{B}^{\prime }$ i $B\stackrel{w}{\to }{B}^{\prime }$ zachodzi równość $u\circ f=w\circ f.$

Morfizmem zerowym jest morfizm, który jest jednocześnie morfizmem stałym i morfizmem costałym.

Jeżeli dla każdej pary uporządkowanej $(A,B)$ obiektów z kategorii $𝔎$ istnieje morfizm zerowy $0_{BA}:A\to B,$ to kategorię tę nazywamy kategorią punktowaną. W danej kategorii istnieje tylko jeden układ morfizmów zerowych $(0_{BA})=\{0_{BA}:(A,B)\in 𝔎\times 𝔎\},$ bowiem gdyby istniały dwa takie układy $(0_{BA})$ i $(0{\text{'}}_{BA}),$ to byłaby prawdziwa równość morfizmów $0{\text{'}}_{BA}=0{\text{'}}_{BA}{0}_{AA}=0_{BA}.$

Własności

1. Jeśli $A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C$ są morfizmami kategorii punktowanej i g jest monomorfizmem, to $f$ jest jądrem $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest obiektem zerowym.
2. W kategorii punktowanej ekwalizator morfizmu $A\stackrel{f}{\to }B$ oraz morfizmu $0_{BA}$ jest jądrem morfizmu $f.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę