Grupa okręgu

Grupa okręgu – podgrupa $𝕋$ grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

$\begin{array}{cc}𝕋& =\{z\in ℂ:|z|=1\}\\ & =\{e^{it}:t\in ℝ\}\end{array}.$

W grupie $𝕋,$ jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała $ℂ,$ działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest $1=e^0.$ Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z dwuwymiarowym torusem (2-torusem oznaczanym ${𝕋}^2$), a zatem okrąg może być interpretowany jako jednowymiarowy torus, skąd pochodzi oznaczenie $𝕋.$

Własności

Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module $360^{\circ }=2\pi .$

• Grupa okręgu jest przemienna, ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne.
• Grupa okręgu jest podzielna (iniektywna).
• Grupa okręgu ma naturalną strukturę grupy topologicznej z topologią indukowaną z płaszczyzny zespolonej. Ponieważ okrąg jednostkowy jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, że grupa okręgu jest zwarta.
• Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową $ℝ/\mathbb{Z}$.
• Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem

$it\mapsto \exp (it)=e^{it}=\cos t+i\sin t;$

przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Grupa okręgu a grupa liczb całkowitych

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do $𝕋,$ złożona z ciągłych homomorfizmów do $𝕋$ jest dyskretna. Co więcej

$\widehat{𝕋}\cong \mathbb{Z},$

a zatem z dualności Pontriagina także

$\hat{\mathbb{Z}}\cong 𝕋.$

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów analizy harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm $\chi :ℝ\to 𝕋$ jest postaci

$\chi (x)=e^{2\pi ixy}(x\in ℝ)$

dla pewnej liczby rzeczywistej $y.$ Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm $\chi :𝕋\to 𝕋$ jest postaci $\chi (z)=z^n$ dla pewnego $n\in \mathbb{Z}.$ W szczególności, grupa dualna do $𝕋$ jest izomorficzna z $\mathbb{Z}$.

Bibliografia

• N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris 1966.
• Szablon:Cytuj książkę

Szablon:Liczby zespolone Szablon:Teoria grup Szablon:Okręgi