Wielomian minimalny

Wielomian minimalny macierzy kwadratowej $A$ – wielomian anulujący $\psi (\lambda )$ tej macierzy, tzn. $\psi (A)=0$ stopnia najniższego względem $\lambda$ o współczynniku jeden przy najwyższej potędze $\lambda .$

Równoważnie, dla przekształcenia liniowego $f$ zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian $\psi (\lambda ),$ że $\psi (f)$ (interpretując $f^n$ jako przekształcenie $f$ złożone ze sobą $n$ razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian $\psi$ jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze $\lambda .$

Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej $A.$

Wielomian minimalny $\psi (\lambda )$ macierzy $A$ jest związany z wielomianem charakterystycznym $\phi (\lambda )$ następującą zależnością:

$\psi (\lambda )=\frac{\phi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )},$

przy czym $D_{n-1}(\lambda )$ jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej

$[\lambda E-A{]}^D,$ gdzie $E$ jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz $A.$

Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.

Algorytm wyznaczania

Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego $\psi (\lambda )$ macierzy $A:$

1. Wyznaczamy wielomian charakterystyczny $\phi (\lambda )$ macierzy $A.$
2. Wyznaczamy macierz dołączoną $[\lambda E-A{]}^D$ macierzy $A.$
3. Znajdujemy $D_{n-1}(\lambda )$ będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej $[\lambda E-A{]}^D.$
4. Korzystając z wzoru $\psi (\lambda )=\frac{\phi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}$ wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy $A.$

Przykład

Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy $A:$

$\phi (\lambda )=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& 0\\ 0& \lambda -1& -1\\ 0& 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^3.$

Następnie obliczamy macierz dołączoną $[\lambda E-A{]}^D$ macierzy $A,$ więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy $A:$

$D_{11}=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -1\\ 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2,D_{12}=-\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& \lambda -1\end{array}\right|=0,D_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& \lambda -1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,$

$D_{21}=-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \lambda -1\end{array}\right|=0,D_{22}=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2,D_{23}=-\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0,$

$D_{31}=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ \lambda -1& -1\end{array}\right|=0,D_{32}=-\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& -1\end{array}\right|=\lambda -1,D_{33}=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2.$

Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona $[\lambda E-A{]}^D$ podanej macierzy $A$ ma postać:

$[\lambda E-A{]}^D=\left(\begin{array}{ccc}(\lambda -1{)}^2& 0& 0\\ 0& (\lambda -1{)}^2& 0\\ 0& \lambda -1& (\lambda -1{)}^2\end{array}\right).$

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez $\lambda -1$ zatem ze wzoru:

$\psi (\lambda )=\frac{\phi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}$

otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy $A$ ma postać: $\psi (\lambda )=(\lambda -1{)}^2.$

Zobacz też

• wielomian charakterystyczny