Wielomian charakterystyczny

Wielomian charakterystyczny – wielomian zawierający informacje o niektórych własnościach macierzy kwadratowej, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku i śladzie.

Motywacja

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować, tworząc wielomian, którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości $a,b,c,$ to wielomian charakterystyczny ma postać:

$(t-a)(t-b)(t-c)\dots$

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy $𝐀$ sytuacja wygląda następująco: jeśli $\lambda$ jest wartością własną $𝐀,$ to istnieje wektor własny $𝐯\mathbf{\ne }\mathrm{𝟎},$ taki że

$𝐀𝐯=\lambda 𝐯,$

czyli

$(\lambda 𝐈-𝐀)𝐯=0$

(gdzie $𝐈$ jest macierzą jednostkową). Ponieważ $𝐯$ jest niezerowy, oznacza to, że macierz $\lambda 𝐈-𝐀$ jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu $\det (\lambda 𝐈-𝐀)$ są wartościami własnymi $𝐀.$

Definicja

Niech $A\in M_n(𝕂),$ gdzie $K$ jest pewnym ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Wielomian charakterystyczny $p_A(t)$ macierzy kwadratowej $𝐀$ definiuje się jako:

$p_A(t)=\det (t𝐈-𝐀).$

Przykład

Dla obliczenia wielomianu charakterystycznego macierzy $𝐀:$

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

należy obliczyć wyznacznik macierzy

$t𝐈-𝐀=\left(\begin{array}{cc}t-2& -1\\ 1& t\end{array}\right)$

Ma on postać

$(t-2)t-1(-1)=t^2-2t+1.$

Własności

Stopień wielomianu charakterystycznego macierzy $n\times n$ jest równy $n.$ Wyraz wolny tego wielomianu $p_A(0)$ jest równy $(-1{)}^n\cdot \det (𝐀),$ współczynnik przy $t^{n-1}$ jest równy $(-1{)}^{n-1}\mathrm{tr}(𝐀)$ (gdzie tr oznacza ślad macierzy).

Dla macierzy $2\times 2$ zachodzi zatem:

$p_A(t)=t^2-\mathrm{tr}(𝐀)t+\det (𝐀).$

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz stopnia nieparzystego ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego $𝐀$ samą macierz $𝐀,$ otrzyma się macierz zerową: $p_A(𝐀)=0.$ A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy $𝐀$ musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę – macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz $𝐀$ jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad $K.$

Zobacz też

• wielomian charakterystyczny układu

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Characteristic polynomial Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].