Wielomian charakterystyczny układu

Niech dana będzie transmitancja

$G(s)=\frac{b_n{s}^m+\dots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +a_{1}s+a_0}$

i odpowiadające jej równania stanu (dla modelu ciągłego) w postaci:

$\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t)+𝐁𝐮(t),$

$𝐲(t)=𝐂𝐱(t)+𝐃𝐮(t),$

gdzie:

$\dot{𝐱}(t)=\frac{d𝐱(t)}{dt}.$

Macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

$G(s)=𝐂(s𝐈-𝐀{)}^{-1}𝐁+𝐃.$

Jeśli transmitancja ma mieć postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej $s,$ to, po pierwsze współczynnik $D$ różny od zera można otrzymać przez podzielenie wielomianów licznika i mianownika, wyłącznie przy równych stopniach tych wielomianów. Po wyłączeniu składnika $D$ (reprezentującego statyczną relację między wejściem a wyjściem) pozostaje część dynamiczna, w której podstawową rolę pełni człon $(s𝐈-𝐀{)}^{-1}.$ Jest to macierz o wymiarach $n\times n,$ której wszystkie elementy są dzielone przez wyznacznik $\det (s𝐈-𝐀).$

Wyznacznik macierzy $(s𝐈-𝐀)$ jest wielomianem stopnia $n,$ który identyfikujemy z wielomianem stopnia $n$ występującym w mianowniku transmitancji $G(s).$ Jest to właśnie wielomian charakterystyczny układu, a zarazem wielomian charakterystyczny macierzy $𝐀.$ Stopień wielomianu charakterystycznego równy $n$ jest równy rzędowi układu dynamicznego. Tak więc macierz $𝐀$ i wielomian charakterystyczny pełnią najważniejszą rolę przy określaniu właściwości dynamicznych układu. Od współczynników $𝐁$ i $𝐂$ zależy postać transmitancji, zwłaszcza jej licznika, nie mają one natomiast wpływu na wielomian charakterystyczny.

Zobacz też

• równanie charakterystyczne
• twierdzenie Cayleya-Hamiltona
• wartość własna układu
• wielomian charakterystyczny