Dodawanie macierzy

Szablon:Dopracować Dodawanie macierzy – działanie dwuargumentowe w zbiorze macierzy $M_{m\times n}$ o ustalonych wymiarach $m\times n,$ które elementowi o współrzędnych $i,j$ wynikowej macierzy $C$ przypisuje sumę elementów macierzy $A$ i $B$ o tych samych współrzędnych $i,j:$

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.$

Symbolicznie można to zapisać:

$A+B=(a_{ij}+b_{ij})⟺(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.$

Jeśli elementy macierzy należą do pewnej grupy abelowej, to zbiór macierzy o tych samych wymiarach z działaniem dodawania tworzy grupę abelową.

Zgodnie z definicją, aby dodać dwie macierze, dodaje się do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]$

W analogiczny sposób odejmuje się macierze.

Przykłady

• suma i różnica dwóch macierzy stopnia $2\times 3$ o wyrazach rzeczywistych:

$\left[\begin{array}{ccc}1,3& 2& 3\\ 1& 2& 9\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1,2& 2& 11\\ 3& -4& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2,5& 4& 14\\ 4& -2& 16\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1,3& 2& 3\\ 1& 2& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1,2& 2& 11\\ 3& -4& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0,1& 0& -8\\ -2& 6& 2\end{array}\right]$

• suma dwóch macierzy $3\times 2$ o wyrazach z ciała ${\mathbb{Z}}_7$:

$\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 4\\ 3& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 4\\ 1& 6\\ 6& 0\end{array}\right]$

(Informacje o ciele ${\mathbb{Z}}_7$ można znaleźć w tym artykule.)

• Suma macierzy

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 2\\ 6& -5\end{array}\right]$ oraz $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 5& 5& 0\\ 2& 7& -1\end{array}\right]$

nie istnieje, gdyż macierze $A$ i $B$ mają różne wymiary.

Zobacz też

• mnożenie macierzy
• potęgowanie macierzy