Masa relatywistyczna

Masa relatywistyczna – wielkość fizyczna wprowadzana w niektórych ujęciach szczególnej teorii względności, ściśle zdefiniowana niżej, przez energię całkowitą. Tak rozumiana masa – tak jak energia całkowita – jest wielkością względną, czyli zależną od układu odniesienia. Innymi słowy nie jest to niezmiennik relatywistyczny – masa relatywistyczna może zmieniać się bez żadnej zmiany w samym obiekcie fizycznym, wyłącznie przez zmianę układu odniesieniaSzablon:OdnSzablon:Odn. Masa relatywistyczna jest wielkością zachowywaną w przemianach i, w przeciwieństwie do masy spoczynkowej, addytywną, co jednak jest prostą konsekwencją zasady zachowania i addytywności relatywistycznej energii całkowitejSzablon:Odn.

Jest to więc wielkość odmienna od masy spoczynkowej, wielkości niezmienniczej i tożsamej, z dokładnością do czynnika $c^{-1},$ z niezmienniczą wartością bezwzględną (długością) czteropędu, i będącej właściwością obiektuSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn. Dlatego użycie w nazwie masa relatywistyczna terminu masa może wprowadzać w błąd i być przyczyną nieporozumieńSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Ścisłe definicje

Ogólna

Masa relatywistyczna jest tożsama – z dokładnością do czynnika (czyli ze współczynnikiem proporcjonalności) c⁻¹ – z zerową (czasową) składową czterowektora energii-pędu (czteropędu) danego obiektu fizycznego. Innymi słowy jest równa, z dokładnością do czynnika $c^{-2},$ całkowitej energii tego relatywistycznego obiektuSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn:

$m_r=\frac{p_0}{c}=\frac{E_r}{c^2},$

gdzie:

$m_r$ – masa relatywistyczna,

$p_0$ – zerowa (czasowa) składowa czteropędu,

$E_r$ – energia relatywistyczna,

$c$ – prędkość światła w próżni.

Przy niezerowej masie spoczynkowej

Wykres zależności masy relatywistycznej od prędkości (wyrażonej jako część prędkości światła w próżni c).

Dla obiektów o niezerowej masie spoczynkowej (ciał) wprowadza się niekiedy wzórSzablon:Odn:

$m_r=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma m_0,$

gdzie:

$m_r$ – masa relatywistyczna,

$m_0$ – masa spoczynkowa,

$v$ – prędkość ciała względem danego układu odniesienia,

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ – czynnik Lorentza.

Wzór ten faktycznie opisuje związek transformacyjny między energią spoczynkową ciała (energią w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa, dla ciał zawsze niezerową), a jego relatywistyczną energią całkowitą (sumą jego energii spoczynkowej i relatywistycznej energii kinetycznej, nietożsamej z klasyczną energią kinetyczną): $E_r=\gamma E_0=\gamma m_0{c}^2,$ nie wynikający jednak ze zmian zachodzących „w ciele”, a z transformacyjnych właściwości czasoprzestrzeni (szczególnie dylatacji czasu)Szablon:OdnSzablon:Odn. Jedynie w układzie, w którym pęd ciała (składowe przestrzenne czteropędu) jest zerowy, relatywistyczna energia całkowita (proporcjonalna do składowej czasowej) jest równa energii spoczynkowej (proporcjonalnej do wartości bezwzględnej czteropędu i do masy spoczynkowej)Szablon:OdnSzablon:Odn.

Dzięki użyciu pojęcia masy relatywistycznej, w miejsce masy spoczynkowej, możliwe jest pozorne utrzymanie w szczególnej teorii względności klasycznej (newtonowskiej) definicji pędu:

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ – klasyczna definicja pędu,

$\overrightarrow{p}=\frac{E_r\overrightarrow{v}}{c^2}$ – relatywistyczna definicja pędu,

$\overrightarrow{p}=m_r\overrightarrow{v}$ – relatywistyczna definicja pędu „upodobniona” do klasycznej (czyli definicja klasyczna przeniesiona do szczególnej teorii względności).

Masa relatywistyczna rośnie wraz z prędkością ciała względem danego układu odniesienia (aż do nieskończoności przy zbliżaniu się prędkości do prędkości światła w próżni), podczas gdy masa spoczynkowa pozostaje stała.

Przy zerowej masie spoczynkowej

Dla obiektów o zerowej masie spoczynkowej (np. fotonów) niekiedy wprowadza się pojęcie masy relatywistycznej, jako wielkości tożsamej (co do czynnika c⁻²) z ich energią, co jednak może wprowadzać w błąd, gdyż nie może być mowy o jakiejkolwiek bezwładności fotonuSzablon:Odn mimo jego niezerowego pędu.

Wyprowadzenie wzoru

Doświadczalnie

Rozważmy zderzenie dwóch kul $B$ i $R$ o tej samej masie $m_0$ poruszających się wzdłuż osi $y$ w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio $u_0$ i $-u_0$ w układach odniesienia $S$ i $S^{\prime }.$ Po zderzeniu kula $B$ zacznie się poruszać w ujemnym kierunku osi $y$ z prędkością $-u_0,$ a kula $R$ w przeciwieństwie do zasad fizyki klasycznej, oprócz ruchu w dodatnim kierunku osi $y,$ także w dodatnim kierunku osi $x.$

Suma pędów obu kul przed i po zderzeniu wzdłuż osi $x$ jest taka sama i wynosi $m_0{u}_0,$ zatem pęd jest zachowany. Jednak wzdłuż osi $y:$

${[p(B{)}_y+p(R{)}_y]}_p=-m_0{u}_0+\frac{m_0{u}_0}{\gamma },$

${[p(B{)}_y+p(R{)}_y]}_k=m_0{u}_0-\frac{m_0{u}_0}{\gamma }.$

Gdy ${[p(B{)}_y+p(R{)}_y]}_p={[p(B{)}_y+p(R{)}_y]}_k,$ to $\gamma =1$ co oznacza sprzeczność.

Aby pęd był zachowany także wzdłuż osi $y,$ to musimy założyć, że to masa kul się zmienia. Zatem masy są funkcjami prędkości: $m(B)$ i $m(R).$

Wtedy:

$m(B)u_0-\frac{m(R)u_0}{\gamma }=-m(B)u_0+\frac{m(R)u_0}{\gamma }.$

Z tego wynika, że:

$m(B)=\frac{m(R)}{\gamma }.$

Analitycznie

Zasada zachowania pędu dla zderzenia dwóch ciał o masach $m_1$ i $m_2$ poruszających się przed zderzeniem z prędkościami odpowiednio $u_1$ i $u_2$ w układzie odniesienia $S$ oraz odpowiednio $+u^{\prime }$ i $-u^{\prime }$ w układzie odniesienia $S^{\prime },$ a po zderzeniu z tą samą prędkością $v$ sformułowana jest następująco:

$m_1{u}_1+m_2{u}_2=(m_1+m_2)v.$

Uwzględniając relatywistyczne składanie prędkości:

$u_1=\frac{u^{\prime }+v}{1+\frac{u^{\prime }v}{c^2}},$ $u_2=\frac{-u^{\prime }+v}{1-\frac{u^{\prime }v}{c^2}}.$

Możemy obliczyć stosunek mas obydwu ciał:

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{1+\frac{u^{\prime }v}{c^2}}{1-\frac{u^{\prime }v}{c^2}}=\frac{\sqrt{1-\frac{u_2^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{u_1^2}{c^2}}}.$

Po podstawieniu: $m_2=m_0,$ $u_2=0,$ $u_1=v$ otrzymujemy:

$\frac{m_1}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Wzór na masę relatywistyczną można również wyprowadzić na gruncie mechaniki klasycznej, rozważając dwa układy $S$ i $S^{\prime }$ poruszające się względem siebie w przestrzeni trójwymiarowej z prędkością $v_x$ bądź cząstkę o masie $m$ i ładunku $q$ poruszającą się z prędkością $v$ w układzie $S$ (układ $S^{\prime }$ porusza się względem układu $S$ wzdłuż osi $x$ z prędkością $u$), która poddana jest działaniu pola elektrycznego $E$ i indukcji magnetycznej $B$.

Kontrowersje i krytyka pojęcia

Koncepcja masy relatywistycznej jest dyskutowana, krytykowanaSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn, broniona. Nadal występuje w wielu podręcznikach i pracach popularyzujących teorię względnościSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn. W gronie krytyków znalazł się między innymi astrofizyk teoretyczny i popularyzator Sean M. Carroll.

Historyczno-matematyczna metaanaliza pojęcia masy relatywistycznej została przedstawiona w artykule. Zaproponowano w nim dziesięć równoważnych, ale nietożsamych definicji masy relatywistycznej.

Bibliografia

Książki

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Strony internetowe

• Szablon:Cytuj stronę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Bartłomiej Kamiński, Masa relatywistyczna – artykuł w miesięczniku „Delta”, nr 9 (556) 2020; deltami.edu.pl [dostęp 2021-02-10].
• Grzegorz Marcin Koczan, New definitions of 3D acceleration and inertial mass not violating F=MA in the Special Relativity – artykuł w czasopiśmie „Results in Physics” nr 24 (104121) 2021.
• Szablon:Otwarty dostęp Don Lincoln, Is relativistic mass real? Szablon:Lang, kanał Fermilabu na YouTube, 6 września 2017 [dostęp 2023-05-22].