Pochodna zupełna

Pochodna funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ w punkcie $a$ albo różniczka funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ w punkcie $a$ to przekształcenie liniowe $L:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji $f$ w punkcie $a.$

W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci $f:{ℝ}^n\to ℝ,$ ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum.

Definicja

Szablon:Zobacz też Niech $U\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja $f:U\to {ℝ}^m$ jest różniczkowalna w punkcie $a\in U$ jeżeli istnieje przekształcenie liniowe $L:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ takie, że

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)-Lh}{\Vert h\Vert }=0.$

Przekształcenie liniowe $L$ nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $a$ albo różniczką funkcji $f$ w punkcie $a$ i oznaczamy $Df(a),df(a),d_{a}f$ lub podobnie.

Równoważnie funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a$ jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:

$f(a+h)-f(a)=Lh+r(h),$

gdzie reszta $r$ ma własność

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{r(h)}{\Vert h\Vert }=0.$

Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.

Terminologia i notacja

W przypadku funkcji $f:ℝ\to ℝ$ tradycyjnie rozróżnia się pochodną funkcji i różniczkę funkcji. W przypadku funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ literatura matematyczna z reguły nie rozróżnia tych terminów i stosuje je wymiennie. Przykładowo Michael Spivak w Analizie na rozmaitościach przekształcenie liniowe $L$ z powyższej definicji oznacza $Df(a)$ i nazywa pochodną (ang. derivative) funkcji $f$ w punkcie $a$, podczas gdy Wojciech Wojtyński w Grupach i Algebrach Liego oznacza je $d_{a}f$ i nazywa różniczką funkcji $f$ w punkcie $a$. Wojciech Wojtyński pochodną funkcji różniczkowalnej $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ nazywa funkcję $f^{\prime }$ z ${ℝ}^n$ w przestrzeń przekształceń liniowych z ${ℝ}^n$ w ${ℝ}^m$ daną wzorem

$f^{\prime }(x):=d_{x}f.$

Pochodna zupełna to termin, który pojawia się w literaturze fizycznej oznaczający tam pochodną złożenia $f\circ g:ℝ\to ℝ$, postaci

$(f\circ g)(t)=f(g_1(t),g_2(t),\dots ,g_n(t),t)$

i podobnych złożeń. Pochodna tego złożenia jest równa

$\frac{d(f\circ g)}{dt}(a)=\sum _{i=1}^{n+1}\frac{\partial f}{\partial x_i}(g(a))\frac{d{g}_i}{dt}(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(g(a))\frac{d{g}_i}{dt}(a)+\frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}(g(a)).$

W notacji fizycznej powyższy wzór jest zapisywany

$\frac{df}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{d{x}_i}{dt}+\frac{\partial f}{\partial t}.$

lub podobnie.

Pochodna jako funkcja

Niech $U\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja $f:U\to {ℝ}^m$ jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie $a\in U.$ Funkcja różniczkowalna $f:U\to {ℝ}^m$ indukuje odwzorowanie $Df$ z $U$ w przestrzeń przekształceń liniowych z ${ℝ}^n$ w ${ℝ}^m$ dane wzorem

$x\mapsto Df(x),$

które nazywamy pochodną funkcji $f$ albo różniczką funkcji $f.$

Własności

• Różniczka jest operatorem liniowym:

$D(\alpha f+\beta g)(a)=\alpha Df(a)+\beta Dg(a).$

• Zachodzi reguła łańcuchowa:

$D(f\circ g)(a)=Df(g(a))\circ Dg(a),$

o ile złożenia mają sens.

• Jeżeli $f:{ℝ}^n\to ℝ$ jest różniczkowalne w punkcie $a\in {ℝ}^n$ to

$Df(a)v=\frac{\partial f}{\partial v}(a),$

gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.

Macierz pochodnej

Szablon:Zobacz też Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli $f=(f_1,\dots ,f_m),$ gdzie $f_i:={\pi }_i\circ f:{ℝ}^n\to ℝ,i=1,\dots ,m$ to złożenia rzutowań ${\pi }_i(x_1,\dots ,x_m):=x_i$ z funkcją $f,$ to macierz różniczki $Df(a)$ jest postaci

$[Df(a)]=\left[\begin{array}{c}[D{f}_1(a)]\\ ⋮\\ [D{f}_m(a)]\end{array}\right].$

Jeżeli $f:{ℝ}^n\to ℝ$ jest różniczkowalna w punkcie $a$ to macierz jej różniczki w bazie standardowej ${ℝ}^n$ jest postaci

$[Df(a)]=[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)].$

Jeżeli $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ jest różniczkowalne w punkcie $a$ to macierz jej różniczki w bazach standardowych ${ℝ}^n$ i ${ℝ}^m$ jest postaci

$[Df(a)]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a)& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a)\end{array}\right].$

Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:

$[D(f\circ g)(a)]=[Df(g(a))]\cdot [Dg(a)].$

Przykłady

(1) Rozważmy funkcję $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ daną wzorem

$f(x,y):=(x^2{y}^3,x^{2}y).$

Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz

$[Df(x,y)]=\left[\begin{array}{cc}2x{y}^3& 3x^2{y}^2\\ 2xy& x^2\end{array}\right]$

i jest dana wzorem

$Df(x,y)(h_1,h_2)=\left[\begin{array}{cc}2x{y}^3& 3x^2{y}^2\\ 2xy& x^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right].$

(2) Jeżeli funkcja $f:{ℝ}^n\to ℝ$ jest różniczkowalna w punkcie $a$ to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem

$Df(a)(h_1,\dots ,h_n)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i.$

(3) Przykładowo różniczka funkcji $f:{ℝ}^2\to ℝ$ danej wzorem

$f(x,y):=x^2{y}^3$

jest dana wzorem

$Df(x,y)(h_1,h_2)=2x{y}^3{h}_1+3x^2{y}^2{h}_2$

i w punkcie $(1,2)$ na wektorze $(3,4)$ wynosi

$Df(1,2)(3,4)=2\cdot 1\cdot 2^3\cdot 3+3\cdot 1^2\cdot 2^2\cdot 4=16\cdot 3+12\cdot 4=48+48=96.$

(4) Niech ${\pi }^i:{ℝ}^n\to ℝ,i=1,\dots ,n$ oznaczają rzutowania na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${ℝ}^n,$ tzn.

${\pi }^i(x_1,\dots ,x_n):=x_i.$

Rzutowania są funkcjami różniczkowalnymi i ich różniczki są dane wzorem

$D{\pi }^i(a)(h_1,\dots ,h_n)=h_i$

dla każdego $a\in {ℝ}^n.$

(5) Łącząc punkt (2) i (4) widzimy, że różniczkę funkcji $f:{ℝ}^n\to ℝ$ (jeżeli istnieje) możemy zapisać w postaci

$Df(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)D{\pi }^i$

(dla prostoty oznaczeń piszemy $D{\pi }^i$ zamiast $D{\pi }^i(a)$).

(6) Oznaczając pochodną funkcji $f:{ℝ}^n\to ℝ$ w punkcie $a$ przez $df(a),$ a pochodne $D{\pi }^i$ przez $d{x}^i$ możemy nadać wzorowi z poprzedniego punktu klasyczną formę

$df(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)d{x}^i.$

(7) W przypadku funkcji $f:ℝ\to ℝ$ wzór z poprzedniego punktu sprowadza się do wzoru

$df(a)=f^{\prime }(a)dx.$

W przypadku funkcji $f:ℝ\to ℝ$ pojęcia pochodnej (w elementarnym sensie) i różniczki różnią się. Jest to jednak różnica tylko pozorna, gdyż każdej pochodnej $f^{\prime }(a)$ odpowiada różniczka $f^{\prime }(a)dx$ a każdej różniczce $f^{\prime }(a)dx$ odpowiada pochodna $f^{\prime }(a).$

Uogólnienia

Pochodna funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ ma wiele daleko idących uogólnień. Są to m.in. pochodna Frecheta i pochodna Gateaux. W przypadku gdy m=1 (tzn. w przypadku funkcji $f:{ℝ}^n\to ℝ$) pochodna ma bardzo głębokie uogólnienie w postaci $k$-formy różniczkowej.

Zobacz też

• Różniczka zupełna
• Forma różniczkowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę