Różniczka zupełna

Pochodna, różniczka, czasami: różniczka zupełna funkcji $f:{ℝ}^n\to ℝ$ w punkcie $a\in {ℝ}^n$ to przekształcenie liniowe $df(a):{ℝ}^n\to ℝ$ będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji $f$ w tym punkcie. Różniczkę zupełną da się przedstawić w postaci

$df(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)d{x}^i,$

gdzie $d{x}^i:=d{\pi }^i$ to pochodne rzutowań na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${ℝ}^n,$ tzn. funkcji ${\pi }^i:{ℝ}^n\to ℝ,i=1,\dots ,n$ danych wzorami

${\pi }^i(x_1,\dots ,x_n):=x_i.$

Różniczka (tzn. przekształcenie dane wzorem $x\mapsto df(x)$) jest przykładem $1$-formy różniczkowej.

Definicja

Szablon:Zobacz też Niech $U\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym. Niech $f:U\to ℝ$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $a\in U.$ Wówczas różniczka zupełna funkcji $f$ w punkcie $a$ to jej pochodna w punkcie $a,$ czyli przekształcenie liniowe $df(a):{ℝ}^n\to ℝ,$ które w pewnym sensie jest najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu

$f(a+h)-f(a).$

W szczególności można napisać

$f(a+h)-f(a)\approx df(a)(h)$

dla dowolnego $h\in {ℝ}^n$ takiego, że $a+h\in U.$

Postać kanoniczna

Szablon:Zobacz też Pochodna $df(a)$ ma macierz w bazie standardowej ${ℝ}^n$

$[df(a)]=[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\dots \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)].$

Wynika z tego, że pochodna $df(a)$ jest dana wzorem

$df(a)(h_1,\dots ,h_n)=[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\dots \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)]\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ ⋮\\ h_n\end{array}\right]=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i.$

W szczególności rzutowania ${\pi }^i:{ℝ}^n\to ℝ,i=1,\dots ,n$ na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${ℝ}^n,$ tzn. funkcje dane wzorami

${\pi }^i(x_1,\dots ,x_n):=x_i$

są różniczkowalne i ich pochodne są dane wzorami

$d{\pi }^i(a)(h_1,\dots ,h_n)=h_i,i=1,\dots ,n$

dla dowolnego $a\in {ℝ}^n.$

Widzimy, że różniczkę można zapisać w postaci

$df(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)d{\pi }^i$

(dla prosty oznaczeń piszemy $d{\pi }^i$ zamiast $d{\pi }^i(a)$), którą nazywamy postacią kanoniczną. Oznaczając pochodne $d{\pi }^i$ przez $d{x}^i,$ można powyższemu wzorowi nadać klasyczną formę

$df(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)d{x}^i.$

Przykład

Różniczka funkcji $f:{ℝ}^3\to ℝ$ różniczkowalnej w punkcie $a\in {ℝ}^3$ ma postać kanoniczną

$df(a)=\frac{\partial f}{\partial x}(a)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(a)dy+\frac{\partial f}{\partial z}(a)dz,$

gdzie:

$dx(h_1,h_2,h_3)=h_1,dy(h_1,h_2,h_3)=h_2,dz(h_1,h_2,h_3)=h_3$

(dla uproszczenia piszemy $dx$ zamiast $dx(a)$ itd.).

Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki

Z definicji różniczki wynika, że za jej pomocą można przybliżać przyrost funkcji. Z własności różniczki wynika, że to przybliżenie ma postać

$\mathrm{\Delta }f:=f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)\approx \sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\mathrm{\Delta }{x}_i$

dla dowolnego $\mathrm{\Delta }x=(\mathrm{\Delta }{x}_1,\dots ,\mathrm{\Delta }{x}_n)\in {ℝ}^n$ takiego, że $a+\mathrm{\Delta }x$ należy do dziedziny $f.$ To przybliżenie jest tym lepsze im mniejsze co do normy jest $\mathrm{\Delta }x.$

Trochę nadużywając notacji można $d{x}^i$ we wzorze

$df(a)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)d{x}^i$

interpretować jako przyrosty argumentów funkcji $f.$ Oznaczenie $d{x}^i$ odzwierciedla wtedy to, że zakłada się, że są one małe. W szczególności, trochę nadużywając notacji, można napisać, że np.

$f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\approx df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy.$

Różniczka zupełna jako 1-forma

Szablon:Zobacz też Niech $U\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otrwartym. Różniczkowalna funkcja $f:U\to ℝ$ indukuje odwzorowanie $df$ z $U$ w $ℒ\mathcal{(}{ℝ}^{𝓃},ℝ\mathcal{)},$ tj. w przestrzeń przekształceń liniowych z ${ℝ}^n$ w $ℝ$ dane wzorem

$x\mapsto df(x).$

Przekształcenie $df$ nazywamy pochodną funkcji $f$ albo różniczką funkcji $f.$ Przekształcenie $df$ spełnia definicję $1$-formy. Różniczka jest zatem $1$-formą na zbiorze otwartym $U.$ Ogólna $1$-forma na zbiorze otwartym $U\subset {ℝ}^n$ ma postać kanoniczną

$\omega =\sum _{i=1}^n{f}_{i}d{x}^i,$

gdzie współczynniki $f_i$ to dowolne funkcje rzeczywiste i niekonicznie muszą być pochodnymi cząstkowymi innej funkcji. Ogólna $2$-forma na zbiorze otwartym w ${ℝ}^3$ ma postać kanoniczną

$\omega =fdx\wedge dy+gdx\wedge dz+hdy\wedge dz,$

gdzie $\wedge$ to iloczyn zewnętrzny. Ogólna $k$-forma na zbiorze otwartym w ${ℝ}^n$ ma postać

$\omega =\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1,\dots ,i_k}d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}.$

O formie różniczkowej mówi się z definicji, że jest klasy $C^r$ lub klasy $C^{\mathrm{\infty }}$ jeżeli takimi są funkcje $f_{i_1,\dots ,i_k}.$

Pochodną zewnętrzną $k$-formy $\omega$ nazywa się następującą $(k+1)$ formę

$d\omega :=\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}d{f}_{i_1,\dots ,i_k}\wedge d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}.$

O formie różniczkowej która jest postaci $\omega =d\eta$ dla pewnej formy $\eta$ mówi się, że jest dokładna. O formie różniczkowej, której pochodna zewnętrzna znika mówi się, że jest zamknięta. Z twierdzenia Schwarza i własności iloczynu zewnętrznego wynika, że

$d(d\omega )\equiv 0$

o ile tylko funkcje $f_{i_1,\dots ,i_k}$ są klasy co najmniej $C^2,$ a zatem każda forma dokładna (i klasy co najmniej $C^1$) jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie musi być prawdziwa, ale jak wynika z Lematu Poincarégo jest prawdziwa na zbiorach otwartych i gwiaździstych.

W szczególności z definicji pochodnej zewnętrznej wynika, że różniczka (zupełna) $df$ jest pochodną zewnętrzną $0$-formy $\omega =f,$ czyli zwykłej funkcji. Wynika stąd, że różniczka (zupełna) jest dokładna i zamknięta.

Całka po krzywej zamkniętej

Szablon:Zobacz też Ponieważ różniczka $df$ jest $1$-formą to można rozważać jej całkę jako całkę z formy po $1$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli po krzywej.

$\underset{\gamma }{\int }df.$

Ogólne twierdzenie Stokesa mówi, że całka $(n-1)$-formy $\omega$ po brzegu $\partial M$ $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej $M$ jest równa (brzeg jest wówczas rozmaitością różniczkową $(n-1)$ wymiarową)

$\underset{\partial M}{\int }\omega =\underset{M}{\int }d\omega .$

Krzywa zamknięta $\partial M$ jest brzegiem pewnej 2-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli powierzchni w ${ℝ}^n.$ Ponieważ różniczka (zupełna) jest zamknięta to z twierdzenia Stokesa dostajemy

$\underset{\partial M}{\int }df=\underset{M}{\int }d(df)=\underset{M}{\int }0=0,$

a zatem całka z różniczki (zupełnej) po krzywej zamkniętej znika.

Niezależność od drogi całkowania

Rozpatrzmy dwa dowolne punkty $A,B\in {ℝ}^n$ oraz dwie dowolne krzywe je łączące – krzywą ${\gamma }_1$ biegnącą z punku $A$ do punktu $B$ oraz krzywą ${\gamma }_2$ biegnącą z punktu $B$ do punktu $A.$ Krzywe ${\gamma }_1$ i ${\gamma }_2$ tworzą razem 1-wymiarową rozmaitość różniczkową kawałkami gładką dla której prawdziwe jest Ogólne Twierdzenie Stokesa. Z dyskusji w poprzednim rozdziale dostajemy

$\underset{{\gamma }_1}{\int }df+\underset{{\gamma }_2}{\int }df=0,$

czyli

$\underset{{\gamma }_1}{\int }df=-\underset{{\gamma }_2}{\int }df.$

Zamieniając parametryzację krzywej ${\gamma }_2$ na przeciwną, dostajemy

$\underset{{\gamma }_1}{\int }df=\underset{-{\gamma }_2}{\int }df.$

Oznacza to, że całka od punktu $A$ do $B$ z $df$ nie zależy od drogi całkowania.

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

$\sum _{i=1}^n{f}_i(q_1,q_2,\dots ,q_n)d{q}_i,$

gdzie $f_i(q_1,q_2,\dots ,q_n),i=1,\dots ,n$ – dane funkcje zmiennych $q_1,q_2,\dots ,q_n,$

to jest ono różniczką zupełną $df$ pewnej funkcji $f(q_1,q_2,\dots ,q_n),$ jeżeli dla każdego $i,j$ zachodzi:

$\frac{\partial f_i(q_1,q_2,\dots ,q_n)}{\partial q_j}=\frac{\partial f_j(q_1,q_2,\dots ,q_n)}{\partial q_i}.$

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną $df,$ widzimy, że funkcje $f_i(q_1,q_2,\dots ,q_n)$ mają postacie

$f_i(q_1,q_2,\dots ,q_n)=\frac{\partial f(q_1,q_2,\dots ,q_n)}{\partial q_i}$

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji $f(q_1,q_2,\dots ,q_n)$ sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

$\frac{{\partial }^{2}f(q_1,q_2,\dots ,q_n)}{\partial q_j\partial q_i}=\frac{{\partial }^{2}f(q_1,q_2,\dots ,q_n)}{\partial q_i\partial q_j}$

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Zobacz też

• forma różniczkowa
• forma wieloliniowa
• pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)