Pochodna kierunkowa

Szablon:Spis treści Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych $𝐱=[x_1,\dots ,x_n]\in {ℝ}^n$ obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego $𝐮=[u_1,\dots ,u_n].$ Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.

Definicja pochodnej kierunkowej

Paraboloida, która jest wykresem funkcji $f:{ℝ}^2\to ℝ,$ w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa ${ℝ}^n$ i zawarty w niej podzbiór otwarty $A.$

Pochodną kierunkową funkcji $f:A\to ℝ$ wzdłuż wektora jednostkowego $𝐮=[u_1,\dots ,u_n]\in {ℝ}^n$ w punkcie $𝐱=[x_1,\dots ,x_n]\in A$ nazywamy granicę

$\frac{\partial f(𝐱)}{\partial 𝐮}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+t𝐮)-f(𝐱)}{t},$

zakładając, że granica ta istnieje.

Związek pochodnej kierunkowej z gradientem

Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji $f(x,y)=x^2+y^2.$ Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy $𝐮$ wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji.

Twierdzenie:

Jeżeli istnieje gradient funkcji $\mathrm{\nabla }f(𝐱)$ w punkcie $𝐱$ (co oznacza, że $f$ jest różniczkowalna w $𝐱$)

$\mathrm{\nabla }f=[\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}],$

to pochodna kierunkowa funkcji $f$ w kierunku wektora $𝐮$ jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji $f$ i wektora $𝐮$

${\mathrm{\nabla }}_{𝐮}f(𝐱)=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot 𝐮$

Przykład

(1) Niech będzie dana funkcja

$f(x,y)=x^2+xy-y^2.$

(2) Gradient funkcji $f$ wynosi

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}]=[2x+y,x-2y].$

(3) Pochodna kierunkowa funkcji $f$ w kierunku jednostkowego wektora $𝐮=[\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}]$ dana jest zależnością

${\mathrm{\nabla }}_{𝐮}f(x,y)=\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot 𝐮=[2x+y,x-2y][\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}],$

czyli

${\mathrm{\nabla }}_{𝐮}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{5}}(2x+y)+\frac{2}{\sqrt{5}}(x-2y)=\frac{4x-3y}{\sqrt{5}}.$

Twierdzenia

Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji $f$ i $g$ określonych w otoczeniu punktu $𝐱,$ w którym funkcje te są różniczkowalne, słuszne są reguły:

(1) reguła sumy

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(f+g)={\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f+{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}g.$

(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej $c\in R$ zachodzi

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(cf)=c{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f.$

(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(fg)=g{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f+f{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}g.$

(4) reguła łańcuchowa: jeśli $g$ jest różniczkowalna w $𝐱,$ zaś $h$ jest różniczkowalna w $g(𝐱)$ to

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(h\circ g)(𝐱)=\mathrm{\nabla }h(g(𝐱)){\mathrm{\nabla }}_{𝐯}g(𝐱).$

Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego

(1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora $𝐯$ ma postać:

$\frac{\partial f}{\partial 𝐯}(𝐱)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(𝐱+t𝐯)-f(𝐱)}{t|𝐯|},$

gdzie $|𝐯|$ – długość wektora $𝐯.$

(2) Twierdzenie

Gdy $f$ jest różniczkowalna w punkcie $𝐱,$ to

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot \frac{𝐯}{|𝐯|},$

czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.

Uwaga:

Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Pochodna kierunkowa pochodnej Frécheta

Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta $\mathrm{D}f(𝐱)$ pochodną kierunkową wyznacza wzór:

$\frac{\partial f(𝐱)}{\partial 𝐮}=\mathrm{D}f(𝐱)(𝐮)$

Związek z pochodną cząstkową

Szablon:Osobny artykuł Jeśli $\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ jest bazą standardową w ${ℝ}^n,$ to pochodna kierunkowa funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ wzdłuż wektora dla $𝐮={𝐞}_i$ jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej $x_i,$ tzn.

$\frac{\partial f(\mathrm{x})}{\partial {𝐞}_i}=\frac{\partial f(\mathrm{x})}{\partial x_i},$

gdzie $\mathrm{x}=[x_1,\dots ,x_n].$

Rozmaitości różniczkowe

Przestrzeń styczna $T_{x}M$ 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości $M$ (powierzchni) w punkcie $x$ oraz wektor styczny $v\in T_{x}M$ do krzywej $\gamma$ przechodzącej przez punkt $x\in M.$

Jeżeli:

(1) $f$ jest funkcją określoną w otoczeniu punktu $x$ rozmaitości różniczkowej $M,$ różniczkowalną w punkcie $\overrightarrow{x}$

(2) $\overrightarrow{v}$ oznacza wektor styczny do rozmaitości $M$ w punkcie $\overrightarrow{x}$

(3) odwzorowanie $\overrightarrow{\gamma }:[-1,1]\to M$ generuje krzywą różniczkowalną $\overrightarrow{\gamma }(\tau ),$ taką że

• $\overrightarrow{\gamma }(0)=\overrightarrow{x}$ oraz
• $\overrightarrow{\gamma }{}^{\prime }(0)=\overrightarrow{v},$

to pochodną kierunkową w punkcie $\overrightarrow{x}$ wzdłuż wektora $\overrightarrow{v}$ definiuje wzór

${\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{v}}f(p)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }(f\circ \overrightarrow{\gamma })(\tau ){|}_{\tau =0}.$

Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej $\overrightarrow{\gamma }.$

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Szablon:Osobny artykuł Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.

Różne oznaczenia pochodnej kierunkowej

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.

$\frac{\partial f}{\partial 𝐮}(𝐱),{\mathrm{D}}_{𝐮}f(𝐱),f{\text{'}}_{𝐮}(𝐱),{\mathrm{\nabla }}_{𝐮}f(𝐱),𝐮\mathrm{\nabla }f(𝐱).$

Zobacz też

• pochodna Frécheta
• pochodna Gâteaux
• pochodna kowariantna
• pochodna zupełna

Inne

• forma różniczkowa
• przestrzeń styczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.