Obwiednia

Obwiednia (Szablon:Ang.) – matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nienależące do żadnego z członków.

Obwiednia powierzchni parametrycznej

Definicja

Obwiednia rodziny prostych

Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące $(n-1)$-wymiarową powierzchnię zanurzoną w $n$-wymiarowej przestrzeni w czasie $t:$

${ℝ}^{n-1}\times ℝ\supset U\ni (𝐮,t)\mapsto 𝐩(𝐮,t)\in {ℝ}^n$

Obwiednią E powierzchni p względem parametru $t$ jest zbiór punktów spełniających warunek:

$\frac{\partial 𝐩}{\partial t}(𝐮,t)\in T_{𝐩(𝐮,t)}$

gdzie $T_{𝐩(𝐮,t)}$ jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni $𝐩$ w punkcie $𝐩(𝐮,t=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}).$ Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach $\frac{\partial 𝐩}{\partial u^i}$ (dla $i=0,\dots ,n-1$). Opisany warunek można zapisać:

$\det \left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial p^0}{\partial t}& \frac{\partial p^0}{\partial u^0}& \cdots & \frac{\partial p^0}{\partial u^{n-1}}\\ \frac{\partial p^1}{\partial t}& \frac{\partial p^1}{\partial u^0}& \cdots & \frac{\partial p^1}{\partial u^{n-1}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial p^n}{\partial t}& \frac{\partial p^n}{\partial u^0}& \cdots & \frac{\partial p^n}{\partial u^{n-1}}\end{array}\right]=0$

Powierzchnia trójwymiarowa

Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni $𝐩(u,v,t)\in {ℝ}^3$ ma postać:

$\det \left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial 𝐩}{\partial t}(u,v,t)& \frac{\partial 𝐩}{\partial u}(u,v,t)& \frac{\partial 𝐩}{\partial v}(u,v,t)\end{array}\right]=0$

Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora $\frac{\partial 𝐩}{\partial t}$ oraz wektora normalnego $n$ do powierzchni p w punkcie $(u,v):$

$⟨\frac{\partial 𝐩}{\partial t},𝐧(u,v)⟩=0$

gdzie $n(u,v)$ jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:

$𝐧(u,v)=\frac{\partial 𝐩}{\partial u}\times \frac{\partial 𝐩}{\partial v}$

Przykład

Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste $y=-1$ oraz $y=1$

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem $\alpha :$

$𝐩(\alpha ,t)=(\cos \alpha +t,\sin \alpha )$

pochodne cząstkowe względem $\alpha$ i $t$ wynoszą:

$\frac{\partial 𝐩}{\partial \alpha }=(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$

$\frac{\partial 𝐩}{\partial t}=(1,0)$

Równanie obwiedni ma zatem postać:

$\det \left[\begin{array}{cc}-\sin \alpha & 1\\ \cos \alpha & 0\end{array}\right]=0\iff \cos \alpha =0\iff \alpha =\frac{\pi }{2}+n\pi$

zaś samą obwiednię stanowią dwie proste $y=1$ oraz $y=-1$ na płaszczyźnie OXY.

Obwiednia powierzchni implicite

Definicja

Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni $n$-wymiarowej opisana równaniem:

$F(𝐩,t)=0$

gdzie $𝐩\in {ℝ}^n,$ $t\in ℝ$ oraz $F:{ℝ}^n\times ℝ\mapsto ℝ.$ Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy $F$ są punkty $(𝐩,t),$ dla których spełnione są:

$\frac{\partial F}{\partial t}(𝐩,t)=0\wedge F(𝐩,t)=0$

Przykład

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:

$F(x,y,t)=(x-t{)}^2+y^2-1=0$

Pochodna cząstkowa $F$ względem $t$ wynosi:

$\frac{\partial F}{\partial t}=-2(x-t)$

Równanie obwiedni ma zatem postać:

$\{\begin{array}{c}F(x,y,t)=(x-t{)}^2+y^2-1=0\\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=-2(x-t)=0\end{array}$

z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste $(x=t,y=\pm 1).$

Zobacz też

• geometria różniczkowa
• krzywa
• powierzchnia

Bibliografia

• Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9, 1992.
• Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover 2004.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld