Wrońskian

Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Definicja

Niech $f_1,\dots ,f_n\in C^{(n-1)}(ℝ)$ będą $(n-1)$-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz funkcji i ich pochodnych kolejnych rzędów

$F(f_1,f_2,\dots ,f_n)=\left[\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_n\\ {f_1}^{\prime }& {f_2}^{\prime }& \cdots & {f_n}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}& f_2^{(n-1)}& \cdots & f_n^{(n-1)}\end{array}\right]$

nazywa się macierzą fundamentalną lub macierzą Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

$W(f_1,f_2,\dots ,f_n)=|F(f_1,f_2,\dots ,f_n)|.$

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, $y_1,y_2,\dots ,y_n\in F.$ Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

$\left[\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \cdots & y_n\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& \cdots & {y_n}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}& y_2^{(n-1)}& \cdots & y_n^{(n-1)}\end{array}\right]$

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem różniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy $y_1,y_2,\dots ,y_n$ są liniowo zależne nad C wtedy i tylko wtedy gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0.

Własności

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

$f_1(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{dla }x<0\\ 0& \text{dla }x⩾0\end{array}$

oraz

$f_2(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{dla }x<0\\ x^2& \text{dla }x⩾0\end{array}.$

Przykład zastosowania

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe $y_1(t)=\left[\begin{array}{c}{t}^2\\ 2t\end{array}\right]$ oraz $y_2(t)=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{t}\\ -\frac{1}{t^2}\end{array}\right]$ tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci: $y^{\prime }(t)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{2}{t^2}& 0\end{array}\right]y(t),t\in (0,\mathrm{\infty }).$

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań

a) $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{2}{t^2}& 0\end{array}\right]y_1(t)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{2}{t^2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}^2\\ 2t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2t\\ 2\end{array}\right]={y_1}^{\prime }(t)$ tzn. $y_1$ jest rozwiązaniem.

b) $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{2}{t^2}& 0\end{array}\right]y_2(t)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{2}{t^2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{t}\\ -\frac{1}{t^2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{t^2}\\ \frac{2}{t^3}\end{array}\right]={y_2}^{\prime }(t)$ tzn. $y_2$ również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:

Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu): $f_1(t):=t^2,f_2(t):=\frac{1}{t}.f_1,f_2\in C^1,t\in (0,\mathrm{\infty }).$

Wtedy: ${f_1}^{\prime }(t)=2t,{f_2}^{\prime }(t)=-\frac{1}{t^2}.$

c) $\det \left[\begin{array}{cc}{f}_1(t)& f_2(t)\\ {f_1}^{\prime }(t)& {f_2}^{\prime }(t)\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{ccc}{y}_1(t)& |& y_2(t)\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}{t}^2& \frac{1}{t}\\ 2t& -\frac{1}{t^2}\end{array}\right]=-1-2=-3\ne 0.$

Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni ${ℝ}^2$ wnioskujemy, że układ $(y_1,y_2)$ jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla $t\in (0,\mathrm{\infty }).$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-01].
• Szablon:Otwarty dostęp Wronskian Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].