Funkcja trójkątna

Funkcja trójkątna

Funkcja trójkątna jest zdefiniowana jako:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\max (1-|t|,0)\\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t|,& |t|<1\\ 0,& \text{dla innych }t\end{array}\end{array}$

lub, co jest równoważne, jako splot dwóch identycznych jednostkowych funkcji prostokątnych:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t)d\tau .\end{array}$

Splot dwóch funkcji prostokątnych. Kolorem żółtym oznaczono pole będące wartością funkcji splotu w chwili t.

Funkcja ta ma zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów. Jest przykładem idealnego sygnału, którego cechy można odnaleźć w sygnałach rzeczywistych. Jednym z jej zastosowań jest Okno Trójkątne lub Okno Bartletta.

Skalowanie

Dla dowolnego parametru $a\ne 0$ zachodzi:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t/a)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t/a)d\tau \\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t/a|,& |t|<|a|\\ 0,& \text{dla innych }t.\end{array}\end{array}$

Transformacja Fouriera

Transformatę Fouriera funkcji trójkątnej można łatwo uzyskać, korzystając z twierdzenia o splocie i transformaty funkcji prostokątnej:

$\begin{array}{cc}ℱ\{\mathrm{tri}(t)\}& =ℱ\{\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\cdot ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t){\}}^2\\ & ={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f).\end{array}$

Zobacz też

• Rozkład trójkątny
• Funkcja sinc