Funkcja prostokątna

Funkcja prostokątna

Funkcja prostokątna jest zdefiniowana jako

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{dla }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{dla }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{dla }|t|<\frac{1}{2}.\end{array}$

Funkcję prostokątną można wyrazić za pomocą funkcji skokowej Heaviside’a $u$ jako

$\mathrm{rect}(t)=u(t+\frac{1}{2})\cdot u(\frac{1}{2}-t)=u(t+\frac{1}{2})-u(t-\frac{1}{2}).$

Transformacja Fouriera

Zachodzi

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(f)$

i

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\omega }{2\pi }\right),$

gdzie $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ jest w postaci znormalizowanej.

Relacje te mają zastosowanie w teorii przetwarzania sygnałów i wynika z nich, że realizacja idealnego sygnału prostokątnego wymaga nieskończenie szerokiego pasma w dziedzinie częstotliwości.

Pochodna

Funkcja prostokątna z uwagi na brak ciągłości nie jest różniczkowalna w sensie klasycznym, ani nie jest słabo różniczkowalna. Jednak możliwe jest wyrażenie pochodnej z funkcji prostokątnej w teorii dystrybucji za pomocą delty Diraca

${\mathrm{rect}}^{\prime }(t)=\delta (t+\frac{1}{2})-\delta (t-\frac{1}{2}).$

Statystyka

Szablon:Zobacz też Funkcja prostokątna ma zastosowanie przy definiowaniu równomiernego rozkładu prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• funkcja sinc
• funkcja skokowa Heaviside’a