Funkcja sinc

Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od Szablon:Łac., również funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela) – funkcja definiowana jako:

$\mathrm{sinc}x=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}& \text{dla }x\ne 0\\ 1& \text{dla }x=0\end{array}$

gdzie $\sin$ oznacza funkcję sinus.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

$\mathrm{sinc}x=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}& \text{dla }x\ne 0\\ 1& \text{dla }x=0\end{array}$

Funkcja sinc jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności

Lokalne ekstrema $\sin x/x$ znajdują się na przecięciu z funkcją cosinus.

• Funkcja jest parzysta i różniczkowalna (a tym samym ciągła).

• Miejscami zerowymi nieznormalizowanej funkcji sinc są całkowite niezerowe wielokrotności liczby $\pi ,$ dla znormalizowanej funkcji są to wszystkie niezerowe liczby całkowite.

• Wykresy funkcji $\sin x/x$ i $\cos x$ przecinają się w tych punktach płaszczyzny, w których $\sin x/x$ osiąga ekstrema lokalne. Innymi słowy $\sin \xi /\xi =\cos \xi$ dla wszystkich punktów $\xi ,$ w których pierwsza pochodna funkcji $\sin x/x$ jest równa zero. W punkcie ${\xi }_0=0$ znajduje się maksimum globalne.

• Znormalizowaną funkcję sinc można zapisać jako iloczyn nieskończony

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$

• Euler odkrył, że

$\frac{\sin (x)}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{2^n}\right).$

• Transformata Fouriera znormalizowanej funkcji sinc (względem częstotliwości) to funkcja prostokątna $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)e^{-i2\pi ft}dt=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f),$

co oznacza, że funkcja ta jest odpowiedzią impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W szczególności zachodzi:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}dx=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(0)=1$

Bibliografia

• Jerzy Szabatin, Przetwarzanie sygnałów 2003.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].