Funkcja Gudermanna

Wykres funkcji Gudermanna

Funkcja Gudermanna – funkcja specjalna nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna, zwana także amplitudą hiperboliczną lub gudermanianem, wyraża się wzorem:

$\begin{array}{cc}\text{gd }x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}\\ & =2\text{ arctg}\left(\text{tgh }\frac{x}{2}\right)\\ & =2\text{ arctg }{e}^x-\frac{\pi }{2}\end{array}$

Najważniejsze własności

Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi, bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej.

Zauważmy, że:

$\text{tgh }\frac{x}{2}=\text{tg }\frac{\text{gd }x}{2}$

Prawdziwe są następujące tożsamości:

$\begin{array}{ccc}\sinh x& =& \text{tg}\left(\text{gd }x\right)\\ \cosh x& =& \sec \left(\text{gd }x\right)\\ \text{tgh }x& =& \sin \left(\text{gd }x\right)\\ \text{sech }x& =& \cos \left(\text{gd }x\right)\\ \text{csch }x& =& \text{ctg}\left(\text{gd }x\right)\\ \text{ctgh }x& =& \csc \left(\text{gd }x\right)\end{array}$

Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:

$\begin{array}{cc}{e}^x& =\frac{1}{\cos \left(\text{gd }x\right)}+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)\\ & =\sec \left(\text{gd }x\right)+\text{tg}\left(\text{gd }x\right)\\ & =\text{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\text{gd }x}{2})\\ & =\frac{1+\sin \left(\text{gd }x\right)}{\cos \left(\text{gd }x\right)}\end{array}$

Pochodna funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

$\frac{d}{dx}\text{gd }x=\text{sech }x$

Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją $\text{arcgd }x$ lub ${\text{gd}}^{-1}x$) wyraża się wzorem:

$\begin{array}{cc}\text{arcgd }x& ={\text{gd}}^{-1}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}\\ & =\text{arcosh}(\sec x)=\text{artgh}(\sin x)\\ & =\ln (\sec x(1+\sin x))\\ & =\ln (\text{tg }x+\sec x)=\ln \text{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\text{artgh}(\sin x)\end{array}$

Ponadto prawdziwe jest równanie:

$i\text{ arcgd }x=\text{arcgd}\left(ix\right)$

Pochodna funkcji odwrotnej do funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:

$\frac{d}{dx}\text{arcgd }x=\sec x.$

Bibliografia

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-13].