Kryterium Cauchy’ego

Szablon:Inne znaczenia Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

Szablon:Wzór

o wyrazach nieujemnych.

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{a_n}<1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sqrt[n]{a_n}>1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna kryterium

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

$C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n},$

to

• gdy $C<1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, oraz
• gdy $C>1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Dowód

W przypadku, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{a_n}<1$

istnieją takie liczby $m$ i $q\in (0,1),$ że

$\sqrt[n]{a_n}⩽q$

dla każdego $n>m.$ To oznacza, że dla $n>m$ zachodzi nierówność

$a_n⩽q^n,$

czyli

$a_{m+1}+a_{m+2}+a_{m+3}+\dots ⩽q^{m+1}+q^{m+2}+q^{m+3}+\dots <\mathrm{\infty },$

co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu Szablon:LinkWzór.

W przypadku, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sqrt[n]{a_n}>1$

istnieje taka liczba $m,$ że dla $n>m$ zachodzi nierówność

$\sqrt[n]{a_n}⩾1,$

a więc spełniona jest także nierówność

$a_n⩾1.$

Oznacza to, że szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

Przykład zastosowania

Rozważmy szereg

Szablon:Wzór

Wówczas

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt[n]{n}}{2}=\frac{1}{2}<1.$

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności

Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=1.$

Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (a_n), (b_n), gdzie

$a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{1}{n^2}.$

Wówczas

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{b_n}=1$

(korzystamy z faktu, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$). Jednak Szablon:LinkWzór jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ jest zbieżny (zob. problem bazylejski)Szablon:OdnSzablon:Odn.

Porównanie z kryterium d’Alemberta

Szablon:Osobny artykuł Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg Szablon:LinkWzór o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodziSzablon:Odn. Istotnie, załóżmy, że szereg Szablon:LinkWzór spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1.$

Wówczas istnieją liczba $k\in \mathbb{N}$ oraz $\rho <1$ taka, że

$\frac{a_{n+1}}{a_n}⩽\rho$

dla dowolnego $n⩾k.$ Wówczas $a_{k+n}⩽{\rho }^n{a}_k$ dla każdego $n⩾k.$ Zatem

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[k+n]{a_{k+n}}⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}({\rho }^n{a}_k{)}^{\frac{1}{k+n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\rho }^{\frac{n}{k+n}}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k^{\frac{1}{k+n}}=\rho \cdot 1=\rho <1.$

Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.

Niech dany będzie szereg

$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^3}+...$

Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci

$a_{2n}=a_{2n-1}=\frac{1}{4^n}.$

Zauważmy, że

$\sqrt[2n]{a_{2n}}=\sqrt[2n]{\frac{1}{4^n}}=\frac{1}{2}$

oraz

$\sqrt[2n-1]{a_{2n}}=\sqrt[2n-1]{\frac{1}{4^n}}=\frac{1}{(4^n{)}^{\frac{1}{2n-1}}}\to \frac{1}{2}.$

Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny. Z drugiej strony

$\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}=1(n\in \mathbb{N}),$

co pokazuje, że szereg Szablon:LinkWzór nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].