Kryterium całkowe

Kryterium całkowe (także kryterium całkowe Maclaurina-Cauchy’egoSzablon:Odn) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich oparte na idei porównywania danego szeregu z całką. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez MadhawęSzablon:Odn w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie kryterium zostało później ponownie odkryte przez Maclaurina w 1742 i Cauchy’ego.

Kryterium

Niech $f:[1,\mathrm{\infty })\to ℝ$ będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto $a_n=f(n)$ dla każdego $n.$ Wówczas szereg Szablon:Wzór

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwaSzablon:Odn Szablon:Wzór

Interpretacja geometryczna

Wykres funkcji $y=\frac{2}{x}$ na przedziale $[1,\mathrm{\infty })$

Całka Szablon:LinkWzór wyraża pole powierzchni pod krzywą $y=f(x)$ (na ilustracji obok zaznaczonej na czarno) na przedziale $[1,\mathrm{\infty }).$ Wyrazy szeregu Szablon:LinkWzór podają wielkość rzędnych wykresu w punktach $x=1,2,\dots ,$ a więc wyrażają pola prostokątów o podstawie $1$ i wysokościach $a_n$ (na ilustracji obok zaznaczone na zielono). Suma szeregu Szablon:LinkWzór jest zatem sumą pól rzeczonych prostokątów. Biorąc to pod uwagę, kryterium całkowe można zinterpretować następująco: jeżeli pole pod wykresem $y=f(x)$ jest skończone, to tym bardziej skończona jest suma pól $1\cdot a_n$ (równa sumie szeregu Szablon:LinkWzór). Dokonując przesunięcia każdego z prostokątów o $1$ w prawo, wykres $y=f(x)$ na przedziale $[2,\mathrm{\infty })$ znajdzie się zawarty w figurze złożonej ze wspomnianych przesunięć. W szczególności, jeżeli pole pod wykresem $y=f(x)$ jest nieskończone, to nieskończone musi być także pole rozważanej figury, a więc i tym samym suma szeregu Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

Dowód

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca zachodzą nierówności

• $f(x)⩽a_k$ dla $k⩽x⩽k+1,$
• $a_k⩽f(x)$ dla $k-1⩽x⩽k.$

Oznacza to, że

$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x⩽a_k⩽\underset{k-1}{\overset{k}{\int }}f(x)\mathrm{d}x(k=2,3\dots ),$

a stąd

$a_2+\dots +a_n⩽\underset{1}{\overset{n}{\int }}f(x)\mathrm{d}x⩽a_1+\dots +a_{n-1}.$

W przypadku gdy całka Szablon:LinkWzór jest zbieżna, ciąg całek częściowych

$(\underset{1}{\overset{k}{\int }}f(x)\mathrm{d}x{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$

jest ograniczony, co pociąga ograniczoność ciągu sum częściowych

$(\sum _{j=1}^k{a}_j{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$

szeregu Szablon:LinkWzór. Ciąg ten jest także niemalejący (z założenia, że wyrazy szeregu Szablon:LinkWzór są nieujemne), więc jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest on zbieżny, a tym samym szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

W przypadku, gdy szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki Szablon:LinkWzór) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistychSzablon:Odn.

Przykłady zastosowania

• Szereg harmoniczny rzędu $s:$

$\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

jest zbieżny dla $s>1.$ Istotnie, funkcja $f(x)=x^{-s}$ jest dodatnia i malejąca na przedziale $[1,\mathrm{\infty }),$ więc stosuje się kryterium całkowe:

$\underset{m}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x^s}=\underset{m}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{-s+1}}{-s+1}\right]}_m^{\mathrm{\infty }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^{-s+1}}{-s+1}-\frac{m^{-s+1}}{-s+1}=-\frac{m^{-s+1}}{-s+1},$

gdy $-s+1<0,$ czyli gdy $s>1$Szablon:Odn.

• Szereg

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot (\ln n{)}^s}$

jest zbieżny dla $s>1$ i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, oznaczając

$f(x)=\frac{1}{x\cdot (\ln x{)}^s}(x⩾2),$

mamy

$\int f(x)\mathrm{d}x=\frac{(\ln x{)}^{1-s}}{1-s}+C,s\ne 1,$

$\int f(x)\mathrm{d}x=\ln (\ln x)+C,s=1,$

a stąd całka niewłaściwa ${\int }_2^{\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ istnieje gdy $s>1$ oraz nie istnieje w przeciwnym przypadkuSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę