Dwumian Newtona

Dwumian Newtona, wzór dwumianowy, wzór dwumienny, wzór Newtona – tożsamość algebraiczna opisująca potęgę dwumianu $(x+y{)}^n$ jako sumę jednomianów postaci $a{x}^k{y}^l.$ Jeśli wykładnik $n$ jest liczbą naturalną, to w każdym z tych jednomianów:

• wykładniki przy $x$ oraz $y$ sumują się do $n;$
• współczynniki $a$ są dodatnimi liczbami naturalnymi, znanymi jako współczynniki dwumianowe i opisane symbolami Newtona.

Nazwa wzoru pochodzi od nazwiska Isaaca Newtona, który w 1676 roku uogólnił go na wykładniki ujemne i ułamkowe. Poprawność tego uogólnienia udowodnił w XIX wieku Niels Henrik Abel.

Wykładnik naturalny

Twierdzenie

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli $x,y$ są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu $x+y$ można rozłożyć na sumę postaci

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}y+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})x^{n-3}{y}^3+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})y^n,$

gdzie $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując $x^0=y^0=1$ (także w przypadku, gdy $x=0$ lub $y=0$), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k.$

Uwagi

1. W szczególności dla $x=1$ lub $y=1$ dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona $(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k.$
2. Współczynniki dwumianowe są elementami $n+1$ wiersza w trójkącie Pascala.

Przykłady

$(x+y{)}^1=x+y$

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

Dowód

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla $n=1$ jest

$(x+y{)}^1=x+y=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})x{y}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})x^{0}y=\sum _{k=0}^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{k})x^{1-k}{y}^k.$

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego $n.$ Wtedy dla $n+1$ mamy

$\begin{array}{cc}(x+y{)}^{n+1}& =(x+y)(x+y{)}^n\\ & =(x+y)\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k+1}{y}^k+\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^{k+1}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^{n+1}+\sum _{k=1}^n[(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})]x^{n-k+1}{y}^k+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})y^{n+1}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0})x^{n+1}+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})x^{(n+1)-k}{y}^k+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n+1})y^{n+1}\\ & =\sum _{k=0}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})x^{(n+1)-k}{y}^k,\end{array}$

co kończy dowód.

Uogólnienie

Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy $x+y,$ gdzie $x,y$ są rzeczywiste, $y>0$ oraz $|\frac{x}{y}|<1,$ a wykładnik $r$ jest rzeczywisty lub zespolony. Wzór ten zawiera uogólniony symbol NewtonaSzablon:Fakt:

$(x+y{)}^r=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})x^k{y}^{r-k}.$

Historia

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane matematykom żyjącym przed nim:

• w IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2;
• w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala znał to twierdzenie dla wyższych wykładnikówSzablon:Fakt.

Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i trójkąt Pascala znali:

• indyjski matematyk Halajuda w X w.;
• perski matematyk Omar Chajjam w XI w.;
• chiński matematyk Yang Hui w XIII w.