Okrąg dziewięciu punktów

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg FeuerbachaSzablon:Odn lub okrąg EuleraSzablon:Odn jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:

Historia odkrycia

W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej, w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor PonceletSzablon:Odn. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807)Szablon:Odn.

Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy „okrąg dziewięciu punktów”Szablon:Odn.

Dowód

W trójkącie ΔABC przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok:

  • HA,HB,HC to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków A,B,C,
    • H to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie,
  • SA,SB,SC to punkty połowiące odcinki AH,BH,CH,
  • A′,B′,C′ to punkty połowiące boki trójkąta: BC,AC,AB.

Rozważmy trójkąt ΔSCHCC′ i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt ∠SCHCC′ jest prosty, jako że CHC jest wysokością trójkąta ΔABC. Oznacza to, że odcinek C′SC jest średnicą okręgu opisanego na ΔC′SCHC.

Z definicji punktów B′ oraz SC zachodzi

CB′CA=12=CSCCH,

co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że

SCB′∥AH, a zatem i
SCB′∥AHA.

Analogicznie, ponieważ

AC′AB=12=AB′AC,

więc

C′B′∥CB.

Ale AHA⊥BC, a co za tym idzie

B′SC⊥C′B′,

co oznacza, że trójkąt ΔC′SCB′ także jest prosty, a więc punkty SC,B′,C′,HC leżą na jednym okręgu.

Podobnie pokazujemy, że SCA′∥BHB oraz A′C′∥AC, a korzystając z tego, że AC⊥BHB otrzymujemy, że trójkąt ΔSCA′C′ także jest prostokątny, co oznacza, że punkty SC,HC,A′,B′,C′ leżą na wspólnym okręgu.

Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów SA i HA, a następnie od SB i HB. W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów

  • SA,HA,A′,B′,C′,
  • SB,HB,A′,B′,C′ oraz
  • SC,HC,A′,B′,C′

jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach A′,B′,C′ można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów

SA,HA,SB,HB,SC,HC,A′,B′,C′

leży na wspólnym okręgu.

Własności

Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi

Twierdzenie Feuerbacha

Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanychSzablon:Odn. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem FeuerbachaSzablon:Odn.

Inne własności

  • Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanegoSzablon:Odn.
Okrąg dziewięciu punktów ma dwukrotnie mniejszy promień, niż okrąg opisany na trójkącie. Porównując trójkąty ΔHLN i ΔHOK łatwo zauważyć, że środek każdego odcinka łączącego ortocentrum H z dowolnym punktem na okręgu opisanym leży na okręgu dziewięciu punktów.
  • Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkątaSzablon:Odn. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.
  • Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.
  • Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.
  • Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkątaSzablon:Odn. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.
  • Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów A,B,C,H będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktówSzablon:OdnSzablon:Odn.
    • Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie ΔCAH okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków AH,CH oraz CA. Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie ΔABC.
    • Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.
  • Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.
  • W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowymSzablon:Odn. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.
Okręgi dziewięciu punktów dla nieortocentrycznego układu punktów A,B,C,D. Na różowo zaznaczono krzywą, przechodzącą przez środki boków trójkątów (na jasnozielono) oraz przez przecięcie wszystkich okręgów (na czerwono), o środku w centroidzie czworokąta ABCD (na niebiesko). Na zielono zaznaczono hiperbolę Kieperta, przechodzącą przez cztery punkty wyjściowe punkty, jak i przez ortocentra trójkątów z tych punktów utworzonych, o środku w punkcie przecięcia się okręgów. Animacja pokazuje, co dzieje się, gdy układ punktów staje się ortocentryczny.
  • Jeśli dane są cztery punkty A,B,C,D, które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów ΔABC,ΔBCD,ΔCAD i ΔADB przecinają się w jednym punkcie. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów.
    • Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów A,B,C,D, która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów.
    • Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty A,B,C,D, jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątówSzablon:Odn.
Na rysunku: okręgi dziewięciu punktów dla trójkątów ΔABC,ΔBCD,ΔCAD i ΔADB, okrąg do nich przystający o środku w antycentrum czworoktąta ABCD (na czerwono) oraz leżący na tym okręgu obraz czworokąta ABCD w jednokładności względem punktu N (na fioletowo).
  • Jeśli cztery punkty A,B,C,D tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów ΔABC,ΔBCD,ΔCAD i ΔADB przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokątaSzablon:OdnSzablon:Odn.
    • Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt ABCD jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego.
    • Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali 12 i środku w punkcie N, dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego O i antycentrum M tak, aby (ON=2NM)Szablon:Odn.

Uogólnienia

Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktówSzablon:Odn.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Szablon:Okręgi Szablon:Obiekty określone dla trójkąta

Szablon:Kontrola autorytatywna

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Okrąg_dziewięciu_punktów&oldid=1800”