Hiperbola (matematyka)

Przykładowa hiperbola (kolor czerwony); zaznaczono też:
• ogniska ($F_1,F_2$),
• łączącą je oś symetrii (kolor niebieski),
• leżące na niej wierzchołki ($S_1,S_2$),
• asymptoty (kolor zielony),
• środek symetrii ($M$)

Hiperbola (Szablon:Greka hyperbolḗ „przerzucenie; przesada”) – krzywa płaska definiowana na co najmniej dwa równoważne sposoby:

• definicja planimetryczna jest oparta na dwóch różnych, ustalonych punktach nazywanych ogniskami. Hiperbola to zbiór takich punktów, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od ognisk jest stała;
• hiperbola to taka krzywa stożkowa, dla której kąt między płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą.

Hiperbola nie jest spójna – ma dwie rozłączne części zwane gałęziami.

Równanie hiperboli

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne $(-c,0)$ i $(c,0),$ to można ją opisać równaniem:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$

gdzie $a$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast $b$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek:

$b^2=c^2-a^2.$

Jeżeli $a=b,$ to hiperbola nazywana jest równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywa się stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi:

$e=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}>1.$

Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Obierając na hiperboli dowolny punkt $P=(x,y),$ przez $r_1$ oznacza się odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez $r_2$ odległość pomiędzy punktem $P$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: $r_1=a+ex,r_2=-a+ex,$
• dla lewej gałęzi: $r_1=-a-ex,r_2=a-ex.$

Niech $d_1$ będzie odległością ustalonego punktu $P$ od lewej kierownicy, a $d_2,$ odpowiednio – od prawej. Wówczas:

$\frac{r_1}{d_1}=\frac{r_2}{d_2}=e.$

Powiązane linie proste

Hiperbola zawsze ma dwie asymptoty; przy powyższym równaniu hiperboli równania asymptot to:

$y=\pm \frac{b}{a}x.$

Kierownicami hiperboli nazywa się proste wyrażone równaniami

$x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{a^2}{c}.$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywany jest średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie $Q=(p,q)$ hiperboli spełnia równanie

$\frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1.$

Hiperbole sprzężone

Przykład hiperbol sprzężonych w kartezjańskim układzie współrzędnych

Hiperbolę o równaniu

$-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

nazywa się hiperbolą sprzężoną do hiperboli wyjściowej, o równaniu podanym wyżej. Hiperbole wzajemnie sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach podanych wyżej.

Zobacz też

• radionawigacja
• twierdzenie Pascala

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Kazimierz Chomicz, Dowód i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, deltami.edu.pl [dostęp 2024-11-07] – praca nagrodzona brązowym medalem w 46. Konkursie Prac Uczniowskich z Matematyki, organizowanym przez „miesięcznik „Delta” i Polskie Towarzystwo Matematyczne.
• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Hyperbola Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].