Prosta Eulera

Prosta Eulera zaznaczona na czerwono. Niebieskie linie to wysokości, zielone to symetralne boków, a pomarańczowe to środkowe trójkąta

Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez:

• ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie),
• środek okręgu opisanego (linie zielone),
• środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe),
• środek okręgu dziewięciu punktów.

Nazwa pochodzi od Leonarda Eulera, który udowodnił, że taka prosta istnieje. Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie między ortocentrum i środkiem okręgu opisanego a odległość od środka ciężkości trójkąta od środka okręgu opisanego jest jedną trzecią odległości między ortocentrum a środkiem okręgu opisanego.

Dowód

Niech $A^{\prime },B^{\prime },H^{\prime }$ będą obrazami punktów $A,B,H$ w jednokładności o skali $\frac{1}{2}$ i środku w punkcie $C.$

Wtedy $2\cdot A^{\prime }{H}^{\prime }=AH.$

Czworokąt $A^{\prime }O{B}^{\prime }{H}^{\prime }$ jest równoległobokiem, więc $O{B}^{\prime }=A^{\prime }{H}^{\prime }.$

Zatem $2\cdot O{B}^{\prime }=AH.$

Środek ciężkości $G$ dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc $AG=2\cdot B^{\prime }G.$

Ponieważ $O{B}^{\prime }||AH,$ to $\mathrm{\angle }O{B}^{\prime }G=\mathrm{\angle }HAG,$ bo są to kąty naprzemianległe.

Zatem $\mathrm{\Delta }{B}^{\prime }OG,$ jest obrazem $\mathrm{\Delta }AHG$ w jednokładności o środku w $G$ i skali $-\frac{1}{2}.$

Stąd otrzymujemy, że $H,G,O$ leżą na jednej prostej oraz $HG=2\cdot GO.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-06].
• Szablon:Otwarty dostęp Euler straight line Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-30].
• Wysokości trójkąta a prosta Eulera na cut-the-knot Szablon:Lang
• Prosta Eulera a okrąg dziewięciu punktów na cut-the-knot Szablon:Lang