Symediana

Trójkąt z zaznaczonymi środkowymi (czarne linie), dwusiecznymi (przerywane) i symedianami (czerwone).

Symediana – prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine’a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

Właściwości

Jeżeli czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):

• półprosta $DB$ jest symedianą w trójkącie $\mathrm{\Delta }ACD,$
• $|AB|\cdot |CD|=|BC|\cdot |AD|,$
• styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach $A$ i $C$ (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty $B$ i $D$ (niebieska) są współpękowe.

Twierdzenie o symedianie

Jeżeli w $\mathrm{\Delta }ABC$ przez $X$ oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu $C$ z bokiem $AB,$ to zachodzi równość:

$\frac{AX}{BX}=\frac{A{C}^2}{B{C}^2}.$

Dowód

Niech $C^{\prime }$ będzie środkiem boku $AB.$ Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:

$\frac{|BC|}{\sin \mathrm{\angle }B{C}^{\prime }C}=\frac{|B{C}^{\prime }|}{\sin \mathrm{\angle }BC{C}^{\prime }},$

$\frac{|AC|}{\sin \mathrm{\angle }A{C}^{\prime }C}=\frac{|A{C}^{\prime }|}{\sin \mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }},$

zatem

$\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sin \mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }}{\sin \mathrm{\angle }BC{C}^{\prime }}.$

Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to

$\mathrm{\angle }BC{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }ACX$ oraz $\mathrm{\angle }AC{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }BCX,$

więc $\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sin \mathrm{\angle }BCX}{\sin \mathrm{\angle }ACX}.$

Z twierdzenia sinusów mamy też, że

$\frac{|AC|}{\sin \mathrm{\angle }AXC}=\frac{|AX|}{\sin \mathrm{\angle }ACX},$

$\frac{|BC|}{\sin \mathrm{\angle }BXC}=\frac{|BX|}{\sin \mathrm{\angle }BCX},$

więc

$\frac{|AX|}{|BX|}=\frac{|AC|}{|BC|}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }BXC}{\sin \mathrm{\angle }AXC}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }ACX}{\sin \mathrm{\angle }BCX}.$

$\mathrm{\angle }BXC+\mathrm{\angle }AXC=180^{\circ },$ więc $\sin \mathrm{\angle }BXC=\sin \mathrm{\angle }AXC,$ stąd

$\frac{|AX|}{|BX|}=\frac{|AC|}{|BC|}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }ACX}{\sin \mathrm{\angle }BCX},$

$\frac{|AX|}{|BX|}=\frac{|AC{|}^2}{|BC{|}^2}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-10-30].