Twierdzenie Menelaosa

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii^[1], choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Treść

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta $△ A B C$ i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty $D, E, F$ w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli^[2]

| A E | \cdot | C D | \cdot | B F | = | B D | \cdot | A F | \cdot | C E | .

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A \to E \to C \to D \to B \to F \to A

skrótowo zapisywane zwykle jako

A_{E}^{C}_{D}^{B}_{F}^{A},

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

\frac{| A E |}{| E C |} \cdot \frac{| C D |}{| D B |} \cdot \frac{| B F |}{| F A |} = 1 .

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód

Niech $X$ będzie przecięciem prostej równoległej do $A C$ przechodzącej przez punkt $B$ z poprzeczną. Trójkąty $△ X B F$ i $△ E A F$ są podobne. Z twierdzenia Talesa:

\frac{| B X |}{| A E |} = \frac{| B F |}{| F A |},

czyli

| X B | = \frac{| B F |}{| F A |} \cdot | A E |

Trójkąty $△ C E D$ i $△ B X D$ są podobne. Zatem jest:

\frac{| C E |}{| X B |} = \frac{| D C |}{| D B |},

czyli

\frac{1}{| X B |} = \frac{| D C |}{| D B |} \cdot \frac{1}{| C E |}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1 = \frac{| B F |}{| F A |} \cdot \frac{| D C |}{| D B |} \cdot \frac{| A E |}{| C E |},

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty $D, E, F$ leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach

A B

i

B C

trójkąta

△ A B C

dane są punkty

E

i

D,

a na przedłużeniu boku

A C

punkt

F

tak, że:

| A E | \cdot | C D | \cdot | B F | = | B D | \cdot | A F | \cdot | C E |,

to punkty

D, E, F

są współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty $D, E, F$ leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

| A E | \cdot | C D | \cdot | B F | = | B D | \cdot | A F | \cdot | C E |

(1)

oraz $D, E$ leżą na bokach trójkąta, zaś $F$ na prostej $A B$ poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt $F^{'} \neq F,$ że $D, E, F^{'}$ są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

| A E | \cdot | C D | \cdot | B F^{'} | = | B D | \cdot | A F^{'} | \cdot | C E | .

Zatem dla dwóch różnych punktów $F, F^{'}$ leżących na prostej $A B$ poza odcinkiem $A B$ zachodzi

\frac{| A F^{'} |}{| B F^{'} |} = \frac{| A F |}{| B F |},

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty $D, E, F$ spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.