Retrakcja (topologia)

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Retrakcja – przekształcenie ciągłe przestrzeni topologicznej X w zbiór A będący podzbiorem X, tak aby wszystkie punkty ze zbioru A pozostały na swoim miejscuSzablon:Odn.

Definicje

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A \subseteq X .$ Funkcja ciągła

r : X \to A

nazywana jest retrakcją, jeżeli

r |_{A} = {id}_{A},

tzn. zachodzi równość $r (a) = a$ dla wszystkich elementów $a$ przestrzeni $A .$

Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ciągłym odwzorowaniom idempotentnym

i : X \to X,

tj. takim funkcjom $i,$ że $i \circ i = i .$ Idempotentem odpowiadającym retrakcji

r : X \to A

jest odwzorowanie $i_{A} \circ r,$ gdzie $i_{A} : A ↪ X$ jest zanurzeniem kanonicznym: $i_{A} (a) = a$ dla każdego elementu $a$ przestrzeni $A .$

Retraktem przestrzeni topologicznej $X$ nazywany jest każdy taki zbiór $B \subseteq X,$ dla którego istnieje retrakcja $r : X \to B .$ Przestrzenie homeomorficzne z retraktem $B$ nazywane są r-obrazami przestrzeni $X .$ Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez Karola Borsuka.

Retraktem absolutnym (AR) nazywa się taką przestrzeń topologiczną $X,$ która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną przestrzeń normalną $Y$ jest retraktem $Y .$

Własności

Retrakcje przestrzeni topologicznych są przekształceniami ilorazowymi^[1]^[2].

Dowód. Niech $r : X \to A$ będzie retrakcją przestrzeni $X$ na swoją podprzestrzeń $A .$ Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji $f : A \to Y$ o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej $Y,$ że złożenie $f \circ r : X \to Y$ jest ciągłe, również samo $f$ jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:

f = f \circ r \circ i_{A},

gdzie $i_{A} : A \to X$ jest identycznościowym włożeniem $A$ w przestrzeń $X .$

Podprzestrzeń $M$ przestrzeni topologicznej $X$ jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na $M$ może być przedłużone na $X .$

Każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód. Niech $r : X \to A$ będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa $X$ na swoją podprzestrzeń $A .$ Przekątna:

△_{X} : = {(x, y) \in X^{2} : x = y}

jest podzbiorem domkniętym w produkcie $X^{2}$ (tw. Bourbakiego). Zatem

A = (r △ I d_{X})^{- 1} (△_{X})

jest domknięte w $X,$ jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym $r △ I d_{X} : X \to X^{2},$ przy czym $I d_{X} : X \to X$ oznacza przekształcenie identycznościowe.

Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma własności T₁, ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.

Niech $G$ będzie niepustym podzbiorem otwartym w $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jeżeli $Y$ jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni $ℝ^{n},$ że $G \subseteq Y,$ to zbiór $X : = Y ∖ G$ nie jest retraktem przestrzeni $Y .$ Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.

Dowód. Niech $p \in G .$ Niech $B$ będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie $p,$ zawierającą $Y$ w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni $Y$ na $X .$ Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym $B ∖ G,$ więc razem tworzą retrakcję $Y \cup (B ∖ G) = B$ na $B ∖ G .$ Oznaczmy tę retrakcję przez r. Wtedy, oznaczając przez s promień kuli, oraz przez S sferę brzegową kuli B, zdefiniujmy $ρ : B ∖ G \to S :$

ρ (x) : = p + s \cdot \frac{x - p}{| x - p |}

Zatem $ρ \circ r : B \to S$ byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.

Twierdzenie (K.Borsuk) Niech $X$ będzie podprzestrzenią zwartą w $R^{n}; n$ – liczba naturalna. Niech $U$ będzie otoczeniem otwartym $X$ w $R^{n},$ przy czym $X$ jest retraktem $U .$ Wtedy $R^{n} ∖ X$ ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.

Dowód. Niech $B$ będzie zwartym podzbiorem w $R^{n},$ zawierającym $X$ w swoim wnętrzu ( $B$ może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech $W = U \cap I n t (B) .$ Zatem $X$ jest retraktem zbioru otwartego $W .$

Niech $S$ będzie jedną ze składowych spójności zbioru $R^{n} ∖ X .$ Wtedy $S$ jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz $X \cup S$ jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru $R^{n} ∖ X .$ Gdyby $Y : = S \subseteq W,$ to $X \cup S$ byłoby zwarte, i miałoby $X$ za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:

{S ∖ W : S

– składowa w

R^{n} ∖ X}

jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej $B ∖ W$ niepustymi zbiorami parami rozłącznymi $S ∖ W .$ Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. Koniec dowodu.

Każdy niepusty, domknięty podzbiór zbioru Cantora jest jego retraktem.
Każdy niepusty, domknięty podzbiór kostki Cantora $D^{𝔪},$ będący zbiorem typu G_δ, jest jej retraktem.
Retrakt przestrzeni mającej własność punktu stałego ma własność punktu stałego.

Przykłady

$I = [0; 1]$ jest retraktem zbioru liczb rzeczywistych $ℝ$ z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład: $r : ℝ \to I,$ określona:

r (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ x & x \in I \\ 1 & x > 1 \end{matrix} .

Sfera jednowymiarowa $S^{1}$ (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni $ℝ^{2}$ (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni $ℝ^{2} ∖ {(0, 0)}$ (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład $r : ℝ^{2} ∖ {(0, 0)} \to S^{1},$ określona: $r (x) = \frac{x}{| x |} .$

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Literatura

[1] Szablon:Cytuj książkę

[2] Szablon:Cytuj książkę

[1]

[2]