Środek masy

Środek masy ciała lub układu ciał – punkt charakteryzujący rozkład masy w ciele, określony tak, by w opisie ruchu ciała zastąpić je punktem materialnymSzablon:R.

Środek masy, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

Wzór

Wzór na wektor wodzący środka masy:

${\overrightarrow{r}}_0=\frac{\sum _k{m}_k{\overrightarrow{r}}_k}{\sum _k{m}_k}.$

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości $\rho$ w przestrzeni za pomocą zależności:

${\overrightarrow{r}}_0=\frac{1}{M}\underset{V}{\int }\rho \overrightarrow{r}dV,$

$M=\underset{V}{\int }\rho dV,$

przy czym:

• ${\overrightarrow{r}}_0$ – wektor wodzący środka masy,
• $M$ – masa ciała,
• $V$ – objętość ciała,
• $\rho =\rho (x,y,z)$ – funkcja gęstości ciała.

W przeciwieństwie do środka ciężkości, środek masy nie jest związany z żadnym oddziaływaniem. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masySzablon:R.

Środek geometryczny

Środek geometryczny zdefiniowany jest podobnie jak środek masy, ale nie uwzględnia się gęstości.

Położenie środka geometrycznego układu punktów określa wektor:

${\overrightarrow{r}}_0=\frac{\sum _k^N{\overrightarrow{r}}_k}{N},$

gdzie $N$ – liczba elementów układu.

Położenie środka geometrycznego bryły jest dane wektorem

${\overrightarrow{r}}_0=\frac{1}{V}\underset{V}{\int }\overrightarrow{r}dV.$

Możliwe jest także obliczanie środka geometrycznego powierzchni dwuwymiarowych lub krzywych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. np. wielościan dualny).

Położenie środka geometrycznego powierzchni jest zdefiniowane wektorem

${\overrightarrow{r}}_0=\frac{1}{S}\underset{S}{\int }\overrightarrow{r}dS,$

a dla krzywych

${\overrightarrow{r}}_0=\frac{1}{L}\underset{L}{\int }\overrightarrow{r}dL,$

gdzie:

• $S$ – pole powierzchni,
• $dS$ – element powierzchni,
• $L$ – długość krzywej,
• $dL$ – element krzywej,

a całkowanie przebiega po całej powierzchni lub całej krzywej.

Zobacz też

• środek ciężkości

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Bartłomiej Bzdęga, Geometria (dla) mas, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 18 listopada 2017 [dostęp 2024-10-05].